Questão 7
Uma barra cilíndrica de cobre desliza sobre trilhos sem atrito na presença de um campo magnético
. Em
, a barra está se movendo na direção
com velocidade
. (a) Qual é a velocidade subsequente da barra se
é sua condutividade elétrica e
a densidade de massa do cobre? (b) Mostre que a taxa temporal de diminuição da energia cinética da barra por unidade de volume é igual a potência dissipada por efeito Joule por unidade de volume.
Uma barra cilíndrica de cobre desliza sobre trilhos sem atrito na presença de um campo magnético
Passo 1
A barra cilíndrica de cobre de massa por unidade de volume
e condutividade
desliza sem atrito sobre trilhos separados por comprimento
no plano
em um campo magnético
. Vamos usar indução eletromagnética (força de Laplace, FEM motional), lei de Ohm e segunda lei de Newton.
Passo 2
Quando a barra se move com velocidade
na direção
, aparece uma FEM motional entre suas extremidades:
Passo 3
Passo 4
A resistência elétrica da barra, tomando área de seção transversal
, é
Passo 5
Passo 6
Logo, a corrente induzida vale
Passo 7
Passo 8
A força magnética de arrasto sobre a barra tem módulo
Passo 9
Passo 10
Aplicando a segunda lei de Newton
, com massa
, obtemos
Passo 11
Passo 12
Essa equação diferencial de primeira ordem tem solução exponencial:
Passo 13
Passo 14
A energia cinética por unidade de volume é
. Sua taxa de variação é
Passo 15
Passo 16
A densidade de corrente na barra é
, e a potência dissipada por Joule por unidade de volume é
Passo 17
Passo 18
Observamos que
Passo 19
Passo 20
ou seja, a taxa de queda da energia cinética por volume coincide com a potência dissipada por efeito Joule.
Resposta
(a)
. (b) A taxa de variação da energia cinética por volume é
, exatamente igual à potência dissipada por Joule por unidade de volume,
.