Questão 7
Uma barra cilíndrica de cobre desliza sobre trilhos sem atrito na presença de um campo magnético B=B0 z. Em t=0, a barra está se movendo na direção y com velocidade v0. (a) Qual é a velocidade subsequente da barra se sigma é sua condutividade elétrica e rhom a densidade de massa do cobre? (b) Mostre que a taxa temporal de diminuição da energia cinética da barra por unidade de volume é igual a potência dissipada por efeito Joule por unidade de volume.

Passo 1

A barra cilíndrica de cobre de massa por unidade de volume rhom e condutividade sigma desliza sem atrito sobre trilhos separados por comprimento l no plano xy em um campo magnético vec B = B0hat z. Vamos usar indução eletromagnética (força de Laplace, FEM motional), lei de Ohm e segunda lei de Newton.

Passo 2

Quando a barra se move com velocidade v na direção y, aparece uma FEM motional entre suas extremidades:

Passo 3

epsilon = oint (vec v times vec B)cdot dvec l = B0,l,v

Passo 4

A resistência elétrica da barra, tomando área de seção transversal A, é

Passo 5

R = lsigma A

Passo 6

Logo, a corrente induzida vale

Passo 7

I = epsilonR = B0 l vl/(sigma A) = B0,sigma A,v

Passo 8

A força magnética de arrasto sobre a barra tem módulo

Passo 9

F = I,l,B0 = (B0,sigma A,v),l,B0 = sigma A l,B0^2,v

Passo 10

Aplicando a segunda lei de Newton m,dv/dt=-F, com massa m=rhomA l, obtemos

Passo 11

rhomA ldvdt = -sigma A l,B0^2,vLongrightarrowdvdt = -sigma B0^2rhom,v

Passo 12

Essa equação diferencial de primeira ordem tem solução exponencial:

Passo 13

v(t)=v0expl(-sigma B0^2rhom,tr)

Passo 14

A energia cinética por unidade de volume é ukin=tfrac12rhomv^2. Sua taxa de variação é

Passo 15

dukindt=rhomvdvdt=rhomvl(-sigma B0^2rhomvr)=-sigma B0^2v^2

Passo 16

A densidade de corrente na barra é J=I/A=B0sigma v, e a potência dissipada por Joule por unidade de volume é

Passo 17

PJ=J^2sigma=(B0sigma v)^2sigma=sigma B0^2v^2

Passo 18

Observamos que

Passo 19

-dukindt=sigma B0^2v^2=PJ,

Passo 20

ou seja, a taxa de queda da energia cinética por volume coincide com a potência dissipada por efeito Joule.

Resposta

(a) v(t)=v0expl(-tfracsigma B0^2rhom,tr). (b) A taxa de variação da energia cinética por volume é -sigma B0^2v^2, exatamente igual à potência dissipada por Joule por unidade de volume, sigma B0^2v^2.

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