A posição de uma particula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x=c t^2-b t^3, onde x está em metros e t em segundos.
(a) Quais são as unidades da constantes ceb?
(b) Suponha que os valores numéricos de c e b são 3,0 e 2,0, respectivamente. Em que instante a partícula passa pelo maior valor positivo de x?
(c) Det=0,0 s at =4,0 s, qual é o deslocamento da partícula?
(d) Determine a velocidade e aceleração da partícula nos instantes t=1,0 s, t=2,0 s, t=3,0 s e t= 4,0 s.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula ao longo do eixo x em função do tempo:
x(t)=c,t^2-b,t^3,
com x em metros e t em segundos. Vamos precisar de:
– análise dimensional para achar as unidades de c e b;
– derivar para obter a velocidade e localizar o máximo de x;
– calcular deslocamento entre t=0,0 e t=4,0 s;
– derivar de novo para achar aceleração e avaliar v(t) e a(t) em instantes dados.

Passo 2

Analisando o termo c,t^2, como x tem dimensão de comprimento [L] e t de tempo [T], segue
[c]=LT^2(ou m/s^2)
Do mesmo modo, em b,t^3 deve ocorrer [b],[T]^3=[L], logo
[b]=LT^3(ou m/s^3)

Passo 3

Para achar o instante de máximo de x note que a velocidade é
v(t)=dxdt=2c,t-3b,t^2
O extremo ocorre em v(t)=0, i.e.
tl(2c-3b,tr)=0 Longrightarrow t=0ou t=2c3b
O caso t=0 x=0, e t=tfrac2c3b é o máximo positivo. Com c=3,0 e b=2,0,
t=2times3,03times2,0=1,0 s

Passo 4

O deslocamento entre t1=0,0 s e t2=4,0 s é
De<a x = x(4,0)-x(0) = l(ccdot4^2-bcdot4^3r)-0 =16c-64b
Substituindo c=3,0 e b=2,0 obtemos
De<a x =16cdot3,0 -64cdot2,0 =48 -128 =-80 m

Passo 5

Derivando novamente, a aceleração é
a(t)=dvdt=2c-6b,t
Com c=3,0 e b=2,0 temos
v(t)=6t-6t^2, a(t)=6-12t
Avaliando em cada instante:
t=1,0 s:& v=0 m/s, a=-6 m/s^2, t=2,0 s:& v=-12 m/s, a=-18 m/s^2, t=3,0 s:& v=-36 m/s, a=-30 m/s^2, t=4,0 s:& v=-72 m/s, a=-42 m/s^2

Resposta

(a) [c]=m/s^2, [b]=m/s^3.
(b) t=tfrac2c3b=1,0 s.
(c) De<a x=-80 m.
(d) v(1,0)=0 m/s, a(1,0)=-6 m/ s^2; v(2,0)=-12 m/s, a(2,0)=-18 m/ s^2; v(3,0)=-36 m/s, a(3,0)=-30 m/ s^2; v(4,0)=-72 m/s, a(4,0)=-42 m/ s^2.

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