Questão 4.

\begin{cases}u_{x x}+u_{y y}=0 & 0<x<1 \text { e } 0<y<2 \\\ u(x, 0)=x^{3}, u(x, 2)=0 & 0 \leq x \leq 1 \\\ u(0, y)=0, u(1, y)=2 \sin (\pi y)-5 \sin (4 \pi y) & 0 \leq y \leq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a solução u(x,y)\) do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo \(0<x<1,\\\ 0<y<2\) com as condições de contorno: \[\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=0, & 0<x<1,\\\ 0<y<2,\\[4pt] u(x,0)=x^{3}, & 0\le x\le1,\\[4pt] u(x,2)=0, & 0\le x\le1,\\[4pt] u(0,y)=0, & 0\le y\le2,\\[4pt] u(1,y)=2\sin(\pi y)-5\sin(4\pi y), & 0\le y\le2. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • PDE: \,u_{xx}+u_{yy}=0\] (equação de Laplace). - Domínio: retângulo com \(x\in[0,1] e y\in[0,2].
    - Condições de contorno (valores de Dirichlet) em todas as quatro bordas (inferior y=0, superior y=2, esquerda x=0, direita x=1).
    - Objetivo: encontrar a função u(x,y) que seja harmônica no interior e satisfaz as quatro condições de contorno.]

Passo 2

Estratégia de resolução (justificação e ideia):
  • A equação é linear; portanto, podemos dividir o problema em subproblemas cuja soma dá a solução completa (princípio da superposição).
  • Escolho decompor u como
u(x,y)=v(x,y)+w(x,y),
onde:
  • v resolve Laplace com as condições não nulas nas bordas y=0 e y=2 (inferior e superior) e com v(0,y)=v(1,y)=0 (bordas verticais homogêneas).
  • w resolve Laplace com as condições não nulas nas bordas verticais x=0,1 e com w(x,0)=w(x,2)=0 (bordas horizontais homogêneas).
  • Assim a soma v+w terá as quatro condições originais (cada subproblema dá a parcela correspondente de contorno).
  • Esse é um procedimento padrão: transformar contornos gerais em dois problemas mais simples, ambos tratáveis por séries de separação de variáveis.
Vou resolver primeiro w (que tem condições não nulas apenas nas bordas verticais) pois nesse caso as funções de contorno são já combinações simples de senos em y. Depois resolvo v (que tem contorno não nulo em y=0) usando série de senos em x.

Passo 3

Resolver w(x,y)\): problema homogêneo nas bordas horizontais. - Defino \(w\) como solução de \[\begin{cases} w_{xx}+w_{yy}=0,&0<x<1,\\\ 0<y<2,\\[4pt] w(x,0)=0,\quad w(x,2)=0,&0\le x\le1,\\[4pt] w(0,y)=0,\quad w(1,y)=g(y),&0\le y\le2, \end{cases}
onde g(y)=2\sin(\pi y)-5\sin(4\pi y)\] (peguei isso do enunciado para o contorno em \(x=1).
  • Para y-bordos zero, as autofunções de y são \sin\!\big(\tfrac{n\pi y}{2}\big) com n=1,2,\dots (as funções que se anulam em y=0 e y=2). Denoto k_n=\tfrac{n\pi}{2}.
  • Procuro solução por separação:
w(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n(x)\sin(k_n y).
A inserção em Laplace dá, para cada modo, a ODE
A_n''(x)-k_n^{2}A_n(x)=0,
cuja solução geral é A_n(x)=\alpha_n\operatorname{cosh}(k_n x)+\beta_n\operatorname{sinh}(k_n x).
  • A condição w(0,y)=0 implica \alpha_n=0 para todo n. Assim
w(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\,\frac{\operatorname{sinh}(k_n x)}{\operatorname{sinh}(k_n)}\sin(k_n y),
onde escrevi o coeficiente com o fator de normalização \operatorname{sinh}(k_n) para que w(1,y)=\sum b_n\sin(k_n y).
  • Usando w(1,y)=g(y) obtemos que os b_n são os coeficientes da série de seno de g na base \{\sin(k_n y)\}_{n\ge1}:
g(y)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(k_n y).
  • Observação prática: g(y)=2\sin(\pi y)-5\sin(4\pi y). Note que
    • \sin(\pi y)=\sin\!\big(2\cdot\tfrac{\pi y}{2}\big) corresponde a n=2 (pois k_2=\tfrac{2\pi}{2}=\pi).
    • \sin(4\pi y)=\sin\!\big(8\cdot\tfrac{\pi y}{2}\big) corresponde a n=8 (pois k_8=\tfrac{8\pi}{2}=4\pi).
  • Logo todos os coeficientes b_n são zero exceto:
    • b_2=2,
    • b_8=-5.
  • Portanto obtemos explicitamente
\boxed{\,w(x,y)=2\,\frac{\operatorname{sinh}(\pi x)}{\operatorname{sinh}(\pi)}\sin(\pi y)\;-\;5\,\frac{\operatorname{sinh}(4\pi x)}{\operatorname{sinh}(4\pi)}\sin(4\pi y).\,}]

Passo 4

Resolver v(x,y)\): problema homogêneo nas bordas verticais e não nulo na borda inferior. - Defino \(v\) como solução de \[\begin{cases} v_{xx}+v_{yy}=0,&0<x<1,\\\ 0<y<2,\\[4pt] v(x,0)=x^{3},\quad v(x,2)=0,&0\le x\le1,\\[4pt] v(0,y)=0,\quad v(1,y)=0,&0\le y\le2. \end{cases}
  • Aqui é natural expandir em autofunções em x\] que se anulam em \(x=0 e x=1, ou seja, \sin(m\pi x), m=1,2,\dots.
  • Procuro solução por série:
v(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty} C_m(y)\sin(m\pi x).
Inserindo em Laplace e projetando no modo \sin(m\pi x) fornece, para cada m, a ODE em y:
C_m''(y)-(m\pi)^{2}C_m(y)=0.
A solução geral é
C_m(y)=\alpha_m\operatorname{cosh}(m\pi y)+\beta_m\operatorname{sinh}(m\pi y).
As condições v(0,y)=v(1,y)=0 já estão garantidas pela base \sin(m\pi x). A condição v(x,2)=0 implica, para cada m,
C_m(2)=0.
Uma forma conveniente de impor isso é escrever a solução em termos de \operatorname{sinh}\big(m\pi(2-y)\big). Especificamente, pode-se tomar
C_m(y)=B_m\,\frac{\operatorname{sinh}\big(m\pi(2-y)\big)}{\operatorname{sinh}(2m\pi)},
pois assim C_m(2)=0 e C_m(0)=B_m (já que \operatorname{sinh}(2m\pi)/\operatorname{sinh}(2m\pi)=1).
  • A condição inferior v(x,0)=x^{3} dá, para 0<x<1,
x^{3}=v(x,0)=\sum_{m=1}^{\infty} B_m\sin(m\pi x).
Portanto os coeficientes B_m são os coeficientes da série de seno de x^3 em [0,1]:
B_m=2\int_{0}^{1}x^{3}\sin(m\pi x)\,dx.
Agora calculamos essa integral explicitamente (bastante mecânico, mas importante):
  • Defina a=m\pi. Calcule
I=\int_{0}^{1}x^{3}\sin(ax)\,dx.
Fazendo integração por partes repetidas (3 vezes) obtém-se a expressão fechada
I=-\frac{\cos(a)}{a}+\frac{3\sin(a)}{a^{2}}+\frac{6\cos(a)}{a^{3}}-\frac{6\sin(a)}{a^{4}}.
Mas para a=m\pi temos \sin(m\pi)=0 e \cos(m\pi)=(-1)^{m}. Assim
I=-\frac{(-1)^{m}}{m\pi}+\frac{6(-1)^{m}}{m^{3}\pi^{3}} =(-1)^{m}\!\left(-\frac{1}{m\pi}+\frac{6}{m^{3}\pi^{3}}\right).
Portanto
\boxed{\,B_m=2\int_{0}^{1}x^{3}\sin(m\pi x)\,dx =2(-1)^{m}\!\left(-\frac{1}{m\pi}+\frac{6}{m^{3}\pi^{3}}\right).\,}
  • Com esses B_m temos a solução v na forma de série:
\boxed{\,v(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty} B_m\;\frac{\operatorname{sinh}\big(m\pi(2-y)\big)}{\operatorname{sinh}(2m\pi)}\;\sin(m\pi x),\,}
com B_m dado acima.]

Passo 5

Juntando as duas parcelas v e w obtemos a solução final u(x,y)=v(x,y)+w(x,y).
  • Reescrevendo tudo explicitamente:
\begin{aligned} u(x,y)={}&\sum_{m=1}^{\infty} \left[2(-1)^{m}\!\left(-\frac{1}{m\pi}+\frac{6}{m^{3}\pi^{3}}\right)\right]\, \frac{\operatorname{sinh}\big(m\pi(2-y)\big)}{\operatorname{sinh}(2m\pi)}\sin(m\pi x)\\[4pt] &\;+\;2\,\frac{\operatorname{sinh}(\pi x)}{\operatorname{sinh}(\pi)}\sin(\pi y)\;-\;5\,\frac{\operatorname{sinh}(4\pi x)}{\operatorname{sinh}(4\pi)}\sin(4\pi y). \end{aligned}
  • Observações didáticas rápidas:
    • A primeira soma (em m) representa a contribuição que ajusta a condição inferior u(x,0)=x^{3} mantendo as bordas verticais e a superior nulas.
    • Os dois últimos termos (com \operatorname{sinh}(\pi x) e \operatorname{sinh}(4\pi x)) vêm diretamente da expansão do contorno direito u(1,y).
    • Cada série/cada modo satisfaz a equação de Laplace separadamente, e pela linearidade a soma é solução do problema com as quatro condições de contorno.]

Resposta

\begin{aligned} u(x,y)={}&\sum_{m=1}^{\infty} 2(-1)^{m}\!\left(-\frac{1}{m\pi}+\frac{6}{m^{3}\pi^{3}}\right) \frac{\operatorname{sinh}\big(m\pi(2-y)\big)}{\operatorname{sinh}(2m\pi)}\sin(m\pi x)\\[6pt] &\;+\;2\,\frac{\operatorname{sinh}(\pi x)}{\operatorname{sinh}(\pi)}\sin(\pi y)\;-\;5\,\frac{\operatorname{sinh}(4\pi x)}{\operatorname{sinh}(4\pi)}\sin(4\pi y). \end{aligned}]

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