O enunciado pede a solução u(x,y)\) do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo \(0<x<1,\\\ 0<y<2\) com as condições de contorno:
\[\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=0, & 0<x<1,\\\ 0<y<2,\\[4pt] u(x,0)=x^{3}, & 0\le x\le1,\\[4pt] u(x,2)=0, & 0\le x\le1,\\[4pt] u(0,y)=0, & 0\le y\le2,\\[4pt] u(1,y)=2\sin(\pi y)-5\sin(4\pi y), & 0\le y\le2. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
PDE: \,u_{xx}+u_{yy}=0\] (equação de Laplace).
- Domínio: retângulo com \(x\in[0,1] e y\in[0,2].
- Condições de contorno (valores de Dirichlet) em todas as quatro bordas (inferior y=0, superior y=2, esquerda x=0, direita x=1).
- Objetivo: encontrar a função u(x,y) que seja harmônica no interior e satisfaz as quatro condições de contorno.]
Passo 2
Estratégia de resolução (justificação e ideia):
A equação é linear; portanto, podemos dividir o problema em subproblemas cuja soma dá a solução completa (princípio da superposição).
Escolho decompor u como
u(x,y)=v(x,y)+w(x,y),
onde:
v resolve Laplace com as condições não nulas nas bordas y=0 e y=2 (inferior e superior) e com v(0,y)=v(1,y)=0 (bordas verticais homogêneas).
w resolve Laplace com as condições não nulas nas bordas verticais x=0,1 e com w(x,0)=w(x,2)=0 (bordas horizontais homogêneas).
Assim a soma v+w terá as quatro condições originais (cada subproblema dá a parcela correspondente de contorno).
Esse é um procedimento padrão: transformar contornos gerais em dois problemas mais simples, ambos tratáveis por séries de separação de variáveis.
Vou resolver primeiro w (que tem condições não nulas apenas nas bordas verticais) pois nesse caso as funções de contorno são já combinações simples de senos em y. Depois resolvo v (que tem contorno não nulo em y=0) usando série de senos em x.
Passo 3
Resolver w(x,y)\): problema homogêneo nas bordas horizontais.
- Defino \(w\) como solução de
\[\begin{cases} w_{xx}+w_{yy}=0,&0<x<1,\\\ 0<y<2,\\[4pt] w(x,0)=0,\quad w(x,2)=0,&0\le x\le1,\\[4pt] w(0,y)=0,\quad w(1,y)=g(y),&0\le y\le2, \end{cases}
onde g(y)=2\sin(\pi y)-5\sin(4\pi y)\] (peguei isso do enunciado para o contorno em \(x=1).
Para y-bordos zero, as autofunções de y são \sin\!\big(\tfrac{n\pi y}{2}\big) com n=1,2,\dots (as funções que se anulam em y=0 e y=2). Denoto k_n=\tfrac{n\pi}{2}.
Procuro solução por separação:
w(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n(x)\sin(k_n y).
A inserção em Laplace dá, para cada modo, a ODE
A_n''(x)-k_n^{2}A_n(x)=0,
cuja solução geral é A_n(x)=\alpha_n\operatorname{cosh}(k_n x)+\beta_n\operatorname{sinh}(k_n x).
A condição w(0,y)=0 implica \alpha_n=0 para todo n. Assim
Resolver v(x,y)\): problema homogêneo nas bordas verticais e não nulo na borda inferior.
- Defino \(v\) como solução de
\[\begin{cases} v_{xx}+v_{yy}=0,&0<x<1,\\\ 0<y<2,\\[4pt] v(x,0)=x^{3},\quad v(x,2)=0,&0\le x\le1,\\[4pt] v(0,y)=0,\quad v(1,y)=0,&0\le y\le2. \end{cases}
Aqui é natural expandir em autofunções em x\] que se anulam em \(x=0 e x=1, ou seja, \sin(m\pi x), m=1,2,\dots.
Procuro solução por série:
v(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty} C_m(y)\sin(m\pi x).
Inserindo em Laplace e projetando no modo \sin(m\pi x) fornece, para cada m, a ODE em y:
A primeira soma (em m) representa a contribuição que ajusta a condição inferior u(x,0)=x^{3} mantendo as bordas verticais e a superior nulas.
Os dois últimos termos (com \operatorname{sinh}(\pi x) e \operatorname{sinh}(4\pi x)) vêm diretamente da expansão do contorno direito u(1,y).
Cada série/cada modo satisfaz a equação de Laplace separadamente, e pela linearidade a soma é solução do problema com as quatro condições de contorno.]