Questão 5(2,0) Um bloco de 4,00 \mathrm{~kg} parte do repouso do topo de uma rampa com atrito que faz 30,0 com a horizontal. O bloco desliza para baixo por uma distância de 3,00 \mathrm{~m} em 2,00 \mathrm{~s}. Determine:
(a) o módulo da aceleração do bloco:
(b) o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano:
(c) o módulo da força de atrito que age sobre o bloco:
(d) a velocidade do bloco depois que ele deslizou 3.00 m.

Passo 1

Entender o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Determinar o módulo da aceleração do bloco.
    (b) Determinar o coeficiente de atrito cinético entre bloco e plano.
    (c) Determinar o módulo da força de atrito que age sobre o bloco.
    (d) Determinar a velocidade do bloco depois que ele deslizou 3{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Dados fornecidos:
    m = 4{,}00\\ \mathrm{kg},\qquad \theta = 30{,}0^\circ,\qquad s = 3{,}00\\ \mathrm{m},\qquad t = 2{,}00\\ \mathrm{s},
    e o bloco parte do repouso (ou seja u=0). Vou usar g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Calcular a aceleração usando cinemática retilínea com aceleração constante.
  • Fórmula que usamos: a relação entre deslocamento s, velocidade inicial u, tempo t e aceleração a é
    s = u t + \tfrac{1}{2} a t^2.
    Aqui s é o deslocamento (em metros), u é a velocidade inicial (em \mathrm{m/s}), t é o tempo (em segundos) e a é a aceleração (em \mathrm{m/s^2}). Essa fórmula vem da integração da velocidade constante no tempo.
  • Aplicando ao nosso caso: u=0, então
    s = \tfrac{1}{2} a t^2 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{2s}{t^2}.
  • Substituindo os valores:
    a = \frac{2\cdot 3{,}00}{(2{,}00)^2} = \frac{6{,}00}{4{,}00} = 1{,}50\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Explicar as forças que atuam e montar a equação do movimento para encontrar o coeficiente de atrito.
  • Forças atuantes no bloco (descrevendo cada uma):
    1. Peso \vec{P} = m\vec{g} apontando vertical para baixo. Em módulo P = m g.
    2. Força normal \vec{N} perpendicular ao plano inclinado, apontando para fora do plano.
    3. Força de atrito cinético \vec{f} atuando ao longo do plano, no sentido oposto ao movimento (ou seja, para cima do plano). Em módulo f=\mu_k N, onde \mu_k é o coeficiente de atrito cinético.
  • Decomposição do peso nas direções tangencial (paralela ao plano) e normal:
    P_{\text{tangencial}} = mg\sin\theta,\qquad P_{\text{normal}} = mg\cos\theta.
    Essas fórmulas vêm da decomposição do vetor peso em um referencial ligado ao plano inclinado.
  • Equação do movimento na direção do plano (segunda lei de Newton, eixo positivo para baixo do plano):
    m a = mg\sin\theta - f.
    E como f = \mu_k N e N = mg\cos\theta, temos f = \mu_k mg\cos\theta.
  • Substituindo f na equação do movimento:
    m a = mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta.
    Podemos simplificar dividindo por m (não-zero):
    a = g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta.
  • Isolando \mu_k:
    \mu_k = \frac{g\sin\theta - a}{g\cos\theta}.

Passo 4

Calcular numericamente o coeficiente de atrito \mu_k.
  • Usando \theta = 30{,}0^\circ, sabemos exatamente \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2} e \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}. Com g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2} e o a calculado no Passo 2:
    g\sin\theta = 9{,}80\cdot\tfrac{1}{2} = 4{,}90\\ \mathrm{m/s^2}.
g\cos\theta = 9{,}80\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 9{,}80\cdot 0{,}8660254 \approx 8{,}486\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Agora:
    \mu_k = \frac{4{,}90 - 1{,}50}{8{,}486} = \frac{3{,}40}{8{,}486}\approx 0{,}4005.
  • Arredondando de forma adequada (mantendo um número sensato de dígitos significativos):
    \mu_k \approx 0{,}401.

Passo 5

Calcular a força de atrito (módulo) que age sobre o bloco.
Temos duas maneiras equivalentes; uso a forma direta proveniente da segunda lei:
  • Da equação m a = mg\sin\theta - f, isolamos f:
    f = mg\sin\theta - m a = m\bigl(g\sin\theta - a\bigr).
  • Substituindo números:
    f = 4{,}00\bigl(4{,}90 - 1{,}50\bigr) = 4{,}00\cdot 3{,}40 = 13{,}6\\ \mathrm{N}.
  • (Verificação) Poderíamos também calcular f = \mu_k m g\cos\theta. Usando \mu_k\approx 0{,}4005 e mg\cos\theta\approx 4{,}00\cdot 8{,}486 = 33{,}944\\ \mathrm{N}, obtemos f\approx 0{,}4005\cdot 33{,}944\approx 13{,}6\\ \mathrm{N}, consistente.

Passo 6

Calcular a velocidade do bloco depois de deslizar 3{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Usamos a fórmula da cinemática para velocidade final com aceleração constante:
    v = u + a t.
    Aqui u=0, a=1{,}50\\ \mathrm{m/s^2} e t=2{,}00\\ \mathrm{s}. Logo
    v = 0 + 1{,}50\cdot 2{,}00 = 3{,}00\\ \mathrm{m/s}.
  • Verificação alternativa com v^2 = u^2 + 2 a s:
    v = \sqrt{2 a s} = \sqrt{2\cdot 1{,}50\cdot 3{,}00} = \sqrt{9{,}00} = 3{,}00\\ \mathrm{m/s},
    consistente com o resultado anterior.

Resposta

(a) 1{,}50\\ \mathrm{m/s^2}
(b) 0{,}401
(c) 13{,}6\\ \mathrm{N}
(d) 3{,}00\\ \mathrm{m/s}

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