Sejam os vetores vec{A}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k} e vec{B}=-4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}.
Determine:
vec{A} \cdot vec{B}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{A}=2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+\hat{k} e \vec{B}=-4\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k} e pede para determinar o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B}.
Informações relevantes fornecidas: os componentes de \vec{A} são suas coordenadas em relação aos vetores unitários \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} e idem para \vec{B}. Não faltam dados.

Passo 2

Recordando a definição prática do produto escalar em coordenadas cartesianas: se
\vec{A}=A_x\hat{\imath}+A_y\hat{\jmath}+A_z\hat{k}\quad\text{e}\quad \vec{B}=B_x\hat{\imath}+B_y\hat{\jmath}+B_z\hat{k},
então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
Explicação intuitiva: os vetores unitários são ortogonais entre si ( \hat{\imath}\cdot\hat{\jmath}=0, etc.) e têm norma 1 ( \hat{\imath}\cdot\hat{\imath}=1), por isso só permanecem os produtos das mesmas componentes.

Passo 3

Identificamos as componentes dos vetores dados:
A_x=2,\quad A_y=3,\quad A_z=1,
B_x=-4,\quad B_y=2,\quad B_z=-1.

Passo 4

Aplicando a fórmula componente a componente:
A_xB_x = 2\cdot(-4) = -8,
A_yB_y = 3\cdot 2 = 6,
A_zB_z = 1\cdot(-1) = -1.

Passo 5

Somamos os produtos das componentes para obter o produto escalar:
\vec{A}\cdot\vec{B}=(-8)+6+(-1)=-3.
Cálculo passo a passo: -8+6=-2, então -2-1=-3.

Passo 6

Interpretação geométrica (opcional, para aprender): o produto escalar também é dado por
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores. Aqui |\vec{A}|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14} e |\vec{B}|=\sqrt{(-4)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{21}. Assim
\cos\theta=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}|\,|\vec{B}|}=\frac{-3}{\sqrt{14}\sqrt{21}}=\frac{-3}{7\sqrt{6}}.
Como o produto escalar deu negativo ( -3), isso indica que o ângulo \theta é obtuso ( \theta>90^\circ) — dica útil para checar sinais em provas.

Passo 7

Dica prática para a prova: ao ver vetores em coordenadas, calcule rapidamente os produtos das componentes correspondentes e some — é direto e rápido. Confira sinais ao multiplicar para evitar erros.

Resposta

-3

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