QUESTÃO 1: Um bloco de massa 3,6 \mathrm{~kg} está acoplado a uma mola de constante elástica desconhecida e oscila livremente sem amortecimento. No instante de tempo inicial, o bloco encontra-se na posição de equilíbrio e a sua velocidade é igual a -0,15 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O período do movimento foi medido como sendo 2,5 \mathrm{~s}. A posição em função da posição é dada por: \boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})= \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{m}} \boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{t}+\boldsymbol{\varphi}).
a) Calcule o valor da constante elástica da mola.
b) Calcule o valor da constante de fase da função de posição.
c) calcule o valor da energia mecânica do sistema.

Passo 1

O enunciado trata de um bloco de massa m=3,6\\ \mathrm{kg} preso a uma mola sem amortecimento, que executa oscilações harmônicas simples com período T=2,5\\ \mathrm{s}. A posição segue
x(t)=x_{m}\cos(\omega t+\varphi)\!,
e sabemos em t=0 que x(0)=0 e v(0)=-0,15\pi\\ \mathrm{m/s}. Precisamos achar:
a) a constante elástica k,
b) a fase inicial \varphi,
c) a energia mecânica E.

Passo 2

Para a oscilação simples vale
\omega=\frac{2\pi}{T}
então
\omega=\frac{2\pi}{2,5}=0,8\pi\\ \mathrm{rad/s}.
E a constante elástica vem de
k=m\,\omega^2
logo
k=3,6\,(0,8\pi)^2=3,6\cdot0,64\,\pi^2\approx22,7\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Em t=0:
\,x(0)=x_{m}\cos\varphi=0 \implies\cos\varphi=0 \implies\varphi=\pm\tfrac{\pi}{2}.
Também
v(t)=-x_{m}\,\omega\sin(\omega t+\varphi)\quad\Longrightarrow\quad v(0)=-x_{m}\,\omega\sin\varphi=-0,15\pi.
Como \cos\varphi=0 e \sin\varphi=\pm1, escolhemos \varphi=+\tfrac{\pi}{2} (pois daí -x_{m}\omega\cdot1=-0,15\pi funciona).
Para obter x_{m}, note que
x_{m}\,\omega=0,15\pi \quad\Longrightarrow\quad x_{m}=\frac{0,15\pi}{0,8\pi}=0,1875\\ \mathrm{m}.

Passo 4

A energia mecânica da oscilação é
E=\tfrac12\,k\,x_{m}^2
portanto
E=\tfrac12\cdot22,7\cdot(0,1875)^2\approx0,40\\ \mathrm{J}.

Resposta

a) k\approx22,7\\ \mathrm{N/m}.
b) \varphi=\tfrac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad}.
c) E\approx0,40\\ \mathrm{J}.

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