QUESTÃO 2: Um circuito RLC sem fonte externa tem a seguinte equação diferencial de segunda ordem para carga:
\ddot{q}+300 \dot{q}+9,87 \times 10^{10} q=0
a) Calcule o tempo necessário para oscilador dissipar 25 \% da sua energia inicial.
b) Se uma fonte externa for ligada ao sistema com amplitude de tensão de 15,0 \mathrm{~V}, qual deve ser a frequência da fonte externa para o oscilador eletromagnético ficar em ressonância?

Passo 1

O enunciado dá a equação de um circuito RLC livre
\ddot{q} + 300\,\dot{q} + 9,87\times10^{10}\,q = 0
que corresponde a um oscilador amortecido com
\frac{R}{L} = 300,\quad \frac{1}{LC} = 9,87\times10^{10}.
Definimos o coeficiente de amortecimento
\alpha = \frac{R}{2L} = \frac{300}{2} = 150\\ (\text{s}^{-1})
e a frequência natural não amortecida
\omega_0 = \sqrt{9,87\times10^{10}}\approx3{,}14\times10^5\\ (\text{rad/s}).
Como \alpha\ll\omega_0, o regime é subamortecido.

Passo 2

Para um oscilador subamortecido a solução típica é
q(t)\propto e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t+\varphi),
portanto a energia, que é proporcional ao quadrado da amplitude, decai como
E(t)=E_0 e^{-2\alpha t}.
Aqui 2\alpha = 300, logo
E(t)=E_0 e^{-300 t}.
Para dissipar 25 % da energia inicial significa E(t)/E_0=0,75.

Passo 3

Impondo
e^{-300 t}=0{,}75
temos
-300\,t = \ln(0{,}75) \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{\ln(0{,}75)}{300}.
Calculando,
t \approx \frac{0{,}28768}{300}\approx9{,}59\times10^{-4}\\ \text{s}.

Passo 4

Quando se aplica uma fonte externa em série, a ressonância (corrente máxima) ocorre na frequência em que a parte imaginária da impedância anula, ou seja
\omega_{\rm res} = \omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC}}.
A frequência em hertz é
f_{\rm res} = \frac{\omega_{\rm res}}{2\pi}.

Passo 5

Usando \omega_{\rm res}\approx3{,}14\times10^5\\ \text{rad/s},
f_{\rm res} = \frac{3{,}14\times10^5}{2\pi}\approx5{,}00\times10^4\\ \text{Hz}.

Resposta

(a) t\approx9,59\times10^{-4}\\ \text{s}
(b) f_{\rm res}\approx5{,}00\times10^{4}\\ \text{Hz}

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