Questão 7 - Um bloco de 2,0 \mathrm{~kg} desliza de encontro a uma mola cuja constante é igual a 300 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Quando o bloco para a mola fica comprimida de 20,0 \mathrm{~cm}. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superficie horizontal é igual a 0,25 . Considere g=10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) Enquanto o bloco está em contato com a mola e sendo levado ao repouso, qual é o trabalho realizado pela força da mola? (b) qual o aumento da energia térmica do sistema bloco-piso? (c) Qual é a velocidade do bloco no instante em que ele atinge a mola? (d) Se a energia térmica do bloco aumenta de 0,2 \mathrm{~J}, qual é a energia térmica absorvida pelo piso?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e nos dá vários dados. Vou listar claramente o que é pedido e todos os dados fornecidos (peguei a figura e os símbolos nela presentes como informação visual):
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Enquanto o bloco está em contato com a mola e é levado ao repouso, qual é o trabalho realizado pela força da mola?
    (b) Qual é o aumento da energia térmica do sistema bloco–piso (durante o contato/compressão)?
    (c) Qual é a velocidade do bloco no instante em que ele atinge a mola (ou seja, velocidade imediatamente antes de começar a comprimir a mola)?
    (d) Se a energia térmica do bloco aumenta de 0{,}2\\ \mathrm{J}, qual é a energia térmica absorvida pelo piso?
  • Dados fornecidos:
    • Massa do bloco: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
    • Constante da mola: k=300\\ \mathrm{N/m}.
    • Compressão máxima da mola (quando o bloco para): x=20{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente de atrito cinético entre bloco e superfície: \mu_k=0{,}25.
    • Aceleração da gravidade: g=10{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.
    • A figura mostra um bloco que desliza horizontalmente contra uma mola fixa com constante k (peguei os símbolos m e k da imagem).
Observação: os valores numéricos foram dados no enunciado; a figura mostra o arranjo físico (bloco, superfície, mola).

Passo 2

Conceito e cálculo do trabalho da força elástica da mola (resposta da letra (a)).
  • Aula rápida e intuitiva: a mola exerce uma força restauradora que, quando a mola é comprimida de 0 até x, realiza trabalho sobre o bloco. A força da mola varia com a posição segundo a lei de Hooke: \,F_{\text{mola}} = -k x_{\text{instant}} (o sinal indica que a força da mola é dirigida para o lado oposto à compressão). O trabalho total realizado pela força da mola ao comprimir de 0 até x obtém-se integrando a força ao longo do deslocamento; o resultado padrão é que o trabalho da mola sobre o corpo é igual a menos a energia potencial elástica ganha pela mola:
    W_{\text{mola}} = -\frac{1}{2} k x^2.
    Explicando cada termo:
    • W_{\text{mola}} é o trabalho feito pela força da mola (unidade: joule, \mathrm{J}).
    • k é a constante elástica da mola ( \mathrm{N/m}).
    • x é a compressão máxima ( \mathrm{m}).
    • O sinal negativo aparece porque, durante a compressão, a força da mola aponta para trás enquanto o deslocamento do bloco é para frente (força e deslocamento têm sentidos opostos), então a mola faz trabalho negativo sobre o bloco (retira energia cinética do bloco e armazena energia potencial).
  • Agora substituindo valores:
    W_{\text{mola}} = -\frac{1}{2}\,k\,x^{2} = -\frac{1}{2}\cdot 300\cdot(0{,}20)^{2}.
    Calcule passo a passo:
    (0{,}20)^{2}=0{,}040, \qquad \frac{1}{2}\cdot 300 = 150, \qquad 150\cdot 0{,}040=6{,}0.
    Logo
    W_{\text{mola}} = -6{,}0\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Trabalho da força de atrito e aumento de energia térmica durante a compressão (resposta da letra (b)).
  • Conceito: a força de atrito cinético tem módulo f_k=\mu_k N, onde N é a normal. Em superfície horizontal sem forças verticais extras, N=m g. A força de atrito aponta no sentido oposto ao movimento, portanto realiza trabalho negativo sobre o bloco; esse trabalho negativo vai diretamente para aquecer o sistema bloco–piso (energia térmica gerada por atrito). O aumento de energia térmica do sistema durante o deslocamento é igual ao módulo do trabalho realizado pela força de atrito (ou seja, \Delta E_{\text{térmica}} = -W_{\text{atrito}}é).
  • Fórmulas e definição das variáveis:
    f_k=\mu_k m g, \qquad W_{\text{atrito}} = -f_k \, d,
    onde d é a distância ao longo da qual a força atua (aqui, a compressão x).
  • Calcule f_k:
    f_k = \mu_k m g = 0{,}25\cdot 2{,}0\cdot 10{,}0 = 5{,}0\\ \mathrm{N}.
  • Trabalho da força de atrito durante a compressão ( d=x=0{,}20\\ \mathrm{m}):
    W_{\text{atrito}} = -f_k x = -5{,}0\cdot 0{,}20 = -1{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Aumento de energia térmica do sistema bloco–piso (valor positivo):
    \Delta E_{\text{térmica}} = -W_{\text{atrito}} = 1{,}0\\ \mathrm{J}.é
Observação conceitual: esse 1{,}0\\ \mathrm{J} corresponde apenas ao aquecimento gerado durante a fase em que o bloco comprime a mola (não inclui calor gerado antes de tocar a mola).

Passo 4

Cálculo da velocidade do bloco no instante em que atinge a mola (resposta da letra (c)), usando o teorema trabalho-energia.
  • Conceito / fórmula: o teorema trabalho–energia diz que a variação da energia cinética de um corpo é igual ao trabalho total das forças que atuam sobre ele. Aqui vamos aplicar isso somente ao percurso durante o contato da mola (desde o instante em que o bloco começa a comprimir a mola até parar). Mas é mais prático usar a conservação de energia com trabalhos não-conservativos: a energia cinética inicial K_i é convertida em energia potencial elástica \tfrac{1}{2} k x^2 e em energia térmica devido ao atrito. Em equação:
    \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k x^{2} + f_k x,
    onde:
    • v é a velocidade imediata antes do contato (o que queremos),
    • \tfrac{1}{2}k x^2 é a energia armazenada na mola no máximo da compressão,
    • f_k x é a energia dissipada por atrito (positivo aqui, já que representa energia perdida da esfera e transformada em calor).
    Outra forma, usando os trabalhos com sinais:
    0 - \frac{1}{2} m v^{2} = W_{\text{mola}} + W_{\text{atrito}}.
    Reorganizando para \tfrac{1}{2} m v^{2} = - (W_{\text{mola}} + W_{\text{atrito}}). Como já calculamos W_{\text{mola}}=-6{,}0\\ \mathrm{J} e W_{\text{atrito}}=-1{,}0\\ \mathrm{J}, o lado direito será 6{,}0+1{,}0=7{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Substituindo números:
    \frac{1}{2} m v^{2} = 7{,}0\\ \mathrm{J}.
    Com m=2{,}0\\ \mathrm{kg}:
    \frac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot v^{2} = 1{,}0\cdot v^{2} = 7{,}0,
    então
    v^{2}=7{,}0, \qquad v=\sqrt{7{,}0}\approx 2{,}65\\ \mathrm{m/s}.
Explicando a lógica em palavras: a energia cinética que o bloco tinha ao tocar a mola (essa energia é \tfrac{1}{2}m v^{2}) acabou transformada em parte na energia elástica da mola ( 6{,}0\\ \mathrm{J}) e parte foi dissipada em calor por atrito ( 1{,}0\\ \mathrm{J}); somando essas parcelas dá os 7{,}0\\ \mathrm{J} que eram originalmente cinéticos.

Passo 5

Parte (d): distribuição da energia térmica entre bloco e piso se o bloco aumenta 0{,}2\\ \mathrm{J}.
  • Já sabemos que a energia térmica total gerada pelo atrito durante a compressão é 1{,}0\\ \mathrm{J} (passo 3). Se o bloco absorve 0{,}2\\ \mathrm{J} desse total, então o restante foi absorvido pelo piso.
  • Cálculo simples: E_{\text{piso}} = 1{,}0 - 0{,}2 = 0{,}8\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação física: a energia térmica gerada pelo atrito foi repartida; 0{,}2\\ \mathrm{J} ficou no bloco (aquecendo-o) e 0{,}8\\ \mathrm{J} foi transferida para o piso.

Resposta

(a) W_{\text{mola}} = -6{,}0\\ \mathrm{J}
(b) \Delta E_{\text{térmica (bloco-piso)}} = 1{,}0\\ \mathrm{J}é
(c) v = \sqrt{7{,}0}\approx 2{,}65\\ \mathrm{m/s}
(d) E_{\text{térmica absorvida pelo piso}} = 0{,}8\\ \mathrm{J}é

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