Questão 5 - Dois corpos de massa \mathrm{m}_{1} e \mathrm{m}_{2} estăo pendurados por um fio muito leve a uma roldana com massa e atrito desprezíveis. Os dois corpos estão inicialmente em repouso. Calcule a velocidade do mais pesado quando tiver caído uma distância vertical h.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo com calma):
  • Dois corpos com massas \,m_1 e \,m_2 estão suspensos por um fio leve que passa por uma roldana cuja massa e atrito são desprezíveis.
  • Os corpos estão inicialmente em repouso.
  • O corpo mais pesado (digamos que seja \,m_2, ou seja \,m_2>m_1) desce uma distância vertical \,h.
  • Pergunta: qual é a velocidade do corpo mais pesado quando ele tiver caído essa distância \,h?
Informações extra (pego do enunciado e da figura):
  • o fio é inextensível, logo as duas massas têm sempre a mesma velocidade em módulo;
  • a roldana e o fio são ideais (massa e atrito desprezíveis), ou seja não há perda de energia por atrito nem energia rotacional na roldana.

Passo 2

Qual estratégia vamos usar? Vou usar conservação da energia mecânica porque:
  • não há atrito e a roldana tem massa desprezível, logo a energia mecânica do sistema (energia potencial gravitacional + energia cinética) se conserva;
  • isso é mais direto do que aplicar as duas leis de Newton e integrar a aceleração (é mais curto e igualmente rigoroso).
    Antes de aplicar, explico o que essas energias significam e as fórmulas que vou usar.
Breve “aula” sobre as energias envolvidas (passo didático):
  • Energia potencial gravitacional: para um corpo de massa \,m deslocado verticalmente de \,y_i para \,y_f, a variação de energia potencial é \Delta U = m g (y_f-y_i), onde \,g é a aceleração da gravidade (padrão: \,g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, mas manterei \,g simbólico).
  • Energia cinética: para um corpo de massa \,m com velocidade \,v, a energia cinética é \,K=\tfrac{1}{2} m v^2.
  • Conservação da energia mecânica (quando não há perdas): a variação total da energia potencial do sistema é igual ao ganho total de energia cinética:
\Delta U_{\text{total}} + \Delta K_{\text{total}} = 0.
Mais prático: perda de energia potencial = ganho de energia cinética.

Passo 3

Escolher referência de energia potencial e estabelecer sinais (coisa que confunde muita gente, então vou devagar):
  • Vou tomar as posições iniciais como referência para medir deslocamentos: o corpo mais pesado \,m_2 desce \,h (ou seja seu \Delta y = -h), e o corpo mais leve \,m_1 sobe \,h (ou seja seu \Delta y = +h).
  • Pelo item anterior, as variações de energia potencial são:
    • para \,m_2: \Delta U_2 = m_2 g (y_{2,f}-y_{2,i}) = m_2 g(-h) = -m_2 g h.
    • para \,m_1: \Delta U_1 = m_1 g (y_{1,f}-y_{1,i}) = m_1 g(+h) = +m_1 g h.
  • A variação total de energia potencial do sistema é a soma:
\Delta U_{\text{total}} = \Delta U_1 + \Delta U_2 = m_1 g h - m_2 g h = -(m_2-m_1)\,g\,h.
Interpretação: como \,m_2>m_1, \Delta U_{\text{total}} é negativo — isto é, o sistema perde energia potencial no processo (essa energia perdida vira energia cinética).

Passo 4

Energia cinética final do sistema:
  • Ambos os corpos movem-se com a mesma velocidade em módulo \,v (fio inextensível). Inicialmente a velocidade era zero.
  • Então o ganho total de energia cinética é
\Delta K_{\text{total}} = \tfrac{1}{2}m_1 v^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v^2 = \tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\,v^2.

Passo 5

Aplicar conservação de energia (perda de energia potencial = ganho de energia cinética):
-(\Delta U_{\text{total}}) = \Delta K_{\text{total}}.
Como \Delta U_{\text{total}}=-(m_2-m_1)gh, a perda de energia potencial é (m_2-m_1)gh. Portanto:
(m_2-m_1)\,g\,h = \tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\,v^2.

Passo 6

Resolver a equação acima para \,v passo a passo:
  • Isolar v^2:
v^2 = \frac{2\,(m_2-m_1)\,g\,h}{m_1+m_2}.
  • Tomar raiz quadrada (velocidade positiva porque é módulo da velocidade):
v = \sqrt{\frac{2\,g\,h\,(m_2-m_1)}{m_1+m_2}}.
Explicação final curta sobre o resultado (intuição):
  • Se \,m_2=m_1 então \,v=0 (sistema em equilíbrio).
  • Se \,m_1\to0 então \,v\to\sqrt{2gh} (queda praticamente livre do corpo mais pesado).
  • O fator \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2} reduz a velocidade em relação à queda livre, porque parte da energia potencial vai para acelerar ambas as massas, não só a massa que cai.

Resposta

v=\sqrt{\frac{2\,g\,h\,(m_2-m_1)}{m_1+m_2}}

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