Questão 5 - Dois corpos de massa
e
estăo pendurados por um fio muito leve a uma roldana com massa e atrito desprezíveis. Os dois corpos estão inicialmente em repouso. Calcule a velocidade do mais pesado quando tiver caído uma distância vertical
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo com calma):
- Dois corpos com massas
e estão suspensos por um fio leve que passa por uma roldana cuja massa e atrito são desprezíveis. - Os corpos estão inicialmente em repouso.
- O corpo mais pesado (digamos que seja
, ou seja ) desce uma distância vertical . - Pergunta: qual é a velocidade do corpo mais pesado quando ele tiver caído essa distância
?
Informações extra (pego do enunciado e da figura):
- o fio é inextensível, logo as duas massas têm sempre a mesma velocidade em módulo;
- a roldana e o fio são ideais (massa e atrito desprezíveis), ou seja não há perda de energia por atrito nem energia rotacional na roldana.
Passo 2
Qual estratégia vamos usar? Vou usar conservação da energia mecânica porque:
- não há atrito e a roldana tem massa desprezível, logo a energia mecânica do sistema (energia potencial gravitacional + energia cinética) se conserva;
- isso é mais direto do que aplicar as duas leis de Newton e integrar a aceleração (é mais curto e igualmente rigoroso).
Antes de aplicar, explico o que essas energias significam e as fórmulas que vou usar.
Breve “aula” sobre as energias envolvidas (passo didático):
- Energia potencial gravitacional: para um corpo de massa
deslocado verticalmente de para , a variação de energia potencial é , onde é a aceleração da gravidade (padrão: , mas manterei simbólico). - Energia cinética: para um corpo de massa
com velocidade , a energia cinética é . - Conservação da energia mecânica (quando não há perdas): a variação total da energia potencial do sistema é igual ao ganho total de energia cinética:
Mais prático: perda de energia potencial = ganho de energia cinética.
Passo 3
Escolher referência de energia potencial e estabelecer sinais (coisa que confunde muita gente, então vou devagar):
- Vou tomar as posições iniciais como referência para medir deslocamentos: o corpo mais pesado
desce (ou seja seu ), e o corpo mais leve sobe (ou seja seu ). - Pelo item anterior, as variações de energia potencial são:
- para
: . - para
: .
- para
- A variação total de energia potencial do sistema é a soma:
Interpretação: como
,
é negativo — isto é, o sistema perde energia potencial no processo (essa energia perdida vira energia cinética).
Passo 4
Energia cinética final do sistema:
- Ambos os corpos movem-se com a mesma velocidade em módulo
(fio inextensível). Inicialmente a velocidade era zero. - Então o ganho total de energia cinética é
Passo 5
Aplicar conservação de energia (perda de energia potencial = ganho de energia cinética):
Como
, a perda de energia potencial é
. Portanto:
Passo 6
Resolver a equação acima para
passo a passo:
- Isolar
:
- Tomar raiz quadrada (velocidade positiva porque é módulo da velocidade):
Explicação final curta sobre o resultado (intuição):
- Se
então (sistema em equilíbrio). - Se
então (queda praticamente livre do corpo mais pesado). - O fator
reduz a velocidade em relação à queda livre, porque parte da energia potencial vai para acelerar ambas as massas, não só a massa que cai.