Uma bobina circular de 30 espiras de raio 4,00 \mathrm{~cm} e resistência de 1,00 \Omega é posicionada em um campo magnético direcionado perpendicularmente ao plano da bobina. O módulo do campo magnético varia no tempo de acordo com a expressão B=0,0100 t+0,0400 t^{2}, onde B está em teslas e t em segundos. Calcule a fem induzida na bobina em \mathrm{t}=5,00 \mathrm{~s}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a fem induzida na bobina no instante t=5,00\\ \mathrm{s}.
Dados fornecidos:
número de espiras: N=30,
raio da bobina: r=4{,}00\\ \mathrm{cm},
resistência da bobina: R=1{,}00\\ \Omega (informação dada, mas não necessária para a fem),
campo magnético variável: \,B(t)=0{,}0100\,t+0{,}0400\,t^{2}\\ \mathrm{T},
instante: t=5{,}00\\ \mathrm{s}.
Passo 2
Conceito útil (explicação passo a passo):
A fem induzida em uma bobina é dada pela Lei de Faraday (forma integral para uma bobina com N espiras):
\mathcal{E} = -N\,\frac{d\Phi}{dt},
onde \Phi é o fluxo magnético através de uma espira. O sinal negativo indica a regra de Lenz (a fem tende a se opor à variação do fluxo). Aqui queremos o módulo da fem, então usaremos |\mathcal{E}|.
Explicando o fluxo magnético:
Se o campo magnético é uniforme e perpendicular ao plano da espira, o fluxo por espira é
\Phi = B(t)\,A,
onde A é a área da espira. Para uma bobina circular de raio r,
A = \pi r^{2}.
Como a área é constante no tempo e o campo depende de t, ao derivar teremos
\frac{d\Phi}{dt} = A\,\frac{dB}{dt}.
Portanto, o módulo da fem fica
|\mathcal{E}| = N\,A\,\left|\frac{dB}{dt}\right|.
Passo 3
Converter o raio para o SI e calcular a área:
O raio dado é r=4{,}00\\ \mathrm{cm}. Convertendo para metros:
r = 4{,}00\\ \mathrm{cm} = 0{,}0400\\ \mathrm{m}.
A área é
A = \pi r^{2} = \pi (0{,}0400)^{2} = 0{,}0016\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Passo 4
Calcular a derivada temporal de B(t):
A função é \,B(t)=0{,}0100\,t+0{,}0400\,t^{2}. Diferenciando em relação a t,