Questão 1

Uma bobina circular de 30 espiras de raio 4,00 \mathrm{~cm} e resistência de 1,00 \Omega é posicionada em um campo magnético direcionado perpendicularmente ao plano da bobina. O módulo do campo magnético varia no tempo de acordo com a expressão B=0,0100 t+0,0400 t^{2}, onde B está em teslas e t em segundos. Calcule a fem induzida na bobina em \mathrm{t}=5,00 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a fem induzida na bobina no instante t=5,00\\ \mathrm{s}.
Dados fornecidos:
  • número de espiras: N=30,
  • raio da bobina: r=4{,}00\\ \mathrm{cm},
  • resistência da bobina: R=1{,}00\\ \Omega (informação dada, mas não necessária para a fem),
  • campo magnético variável: \,B(t)=0{,}0100\,t+0{,}0400\,t^{2}\\ \mathrm{T},
  • instante: t=5{,}00\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceito útil (explicação passo a passo):
A fem induzida em uma bobina é dada pela Lei de Faraday (forma integral para uma bobina com N espiras):
\mathcal{E} = -N\,\frac{d\Phi}{dt},
onde \Phi é o fluxo magnético através de uma espira. O sinal negativo indica a regra de Lenz (a fem tende a se opor à variação do fluxo). Aqui queremos o módulo da fem, então usaremos |\mathcal{E}|.
Explicando o fluxo magnético:
Se o campo magnético é uniforme e perpendicular ao plano da espira, o fluxo por espira é
\Phi = B(t)\,A,
onde A é a área da espira. Para uma bobina circular de raio r,
A = \pi r^{2}.
Como a área é constante no tempo e o campo depende de t, ao derivar teremos
\frac{d\Phi}{dt} = A\,\frac{dB}{dt}.
Portanto, o módulo da fem fica
|\mathcal{E}| = N\,A\,\left|\frac{dB}{dt}\right|.

Passo 3

Converter o raio para o SI e calcular a área:
O raio dado é r=4{,}00\\ \mathrm{cm}. Convertendo para metros:
r = 4{,}00\\ \mathrm{cm} = 0{,}0400\\ \mathrm{m}.
A área é
A = \pi r^{2} = \pi (0{,}0400)^{2} = 0{,}0016\pi\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Calcular a derivada temporal de B(t):
A função é \,B(t)=0{,}0100\,t+0{,}0400\,t^{2}. Diferenciando em relação a t,
\frac{dB}{dt} = 0{,}0100 + 2\cdot0{,}0400\,t = 0{,}0100 + 0{,}0800\,t.
Avaliar em t=5{,}00\\ \mathrm{s}:
\left.\frac{dB}{dt}\right|_{t=5{,}00} = 0{,}0100 + 0{,}0800\cdot5{,}00 = 0{,}0100 + 0{,}400 = 0{,}410\\ \mathrm{T/s}.

Passo 5

Calcular a fem usando |\mathcal{E}| = N A \left|\dfrac{dB}{dt}\right|:
Substituindo os valores:
N A = 30 \times 0{,}0016\pi = 0{,}048\pi.
Multiplicando por \left|\dfrac{dB}{dt}\right|=0{,}410:
|\mathcal{E}| = 0{,}048\pi \times 0{,}410 = 0{,}01968\pi\\ \mathrm{V}.
Agora calcular numericamente:
|\mathcal{E}| \approx 0{,}01968\times3{,}14159265 \approx 0{,}061787\\ \mathrm{V}.
Arredondando de acordo com os dados (3 algarismos significativos nos valores relevantes), obtemos
|\mathcal{E}|\approx 0{,}0618\\ \mathrm{V}.

Resposta

0{,}0618\\ \mathrm{V}

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