- Considere as equações do movimento de um sistema de 2 graus de liberdade:
Os valores dos parâmetros físicos são:
. Pede-se:
(a) (1.0) - Calcule as frequências naturais;
(b) (1.0) - Calcule os modos de vibrar.
(a) (1.0) - Calcule as frequências naturais;
(b) (1.0) - Calcule os modos de vibrar.
Passo 1
O enunciado nos dá as equações do movimento de um sistema com dois graus de liberdade e os valores dos parâmetros:
- Equações:
- Parâmetros dados:
O enunciado pede:
(a) Calcular as frequências naturais.
(b) Calcular os modos de vibrar (as formas modais).]
(a) Calcular as frequências naturais.
(b) Calcular os modos de vibrar (as formas modais).]
Passo 2
Vamos escrever o problema como um problema matricial clássico de autovalores. Para equações da forma
onde
, a matriz de massa
e de rigidez
são obtidas agrupando os coeficientes das acelerações e dos termos proporcionais às coordenadas:
- Coeficientes das acelerações: da primeira equação o termo em
é e em é . Da segunda equação o termo em é e em é . Portanto
- Coeficientes elásticos (rigidez): só há termos
e , sem acoplamento elástico, portanto
Substituímos os valores numéricos (lembre que
e
):
Passo 3
As frequências naturais aparecem resolvendo o problema de autovalores
Definindo
(para simplificar a escrita), montamos a matriz
:
porque o elemento
é
e o
é idem.
O determinante é
Passo 4
Vamos expandir o determinante e obter o polinômio em
.
Primeiro o produto:
Calculando cada termo:
Somando:
Subtraindo
do acima:
A condição característica é, portanto,
Passo 5
Resolva a equação quadrática para
. Use a fórmula quadrática:
Calcule o discriminante:
Assim os dois autovalores são
Lembrando que
, obtemos as frequências naturais (em rad/s):
Se for preciso em hertz,
:
Passo 6
Agora encontramos os modos (autovetores). Para cada
resolvemos
onde
.
Usamos a primeira linha da matriz:
Para
:
Escolhendo normalizar o vetor impondo
(escolha comum e simples), obtemos
pois
.
Para
:
Escolhendo
(nova normalização conveniente), obtemos
Observações sobre a normalização: os autovetores são únicos até uma constante multiplicativa (sinal e escala). Aqui optei por escalonar cada modo de forma simples (
no modo 1 e
no modo 2) para clareza. Poder-se-ia normalizar pela norma, pela massa modal, etc., dependendo da aplicação.]
Passo 7
Interpretação física rápida (para te dar confiança): o modo de baixa frequência (
) tem
grande e
muito pequeno (sinal negativo pequeno), ou seja, o movimento é principalmente translacional em
com uma pequena rotação contrária. O modo de alta frequência (
) tem rotação significativa (
maior) e deslocamento
menor relativo à rotação.
Resposta
(a)
(b)
]