• Considere as equações do movimento de um sistema de 2 graus de liberdade:
\begin{gathered} m \ddot{x}-m e \ddot{\theta}+k x=0 \\\ \left(J+m e^{2}\right) \ddot{\theta}-m e \ddot{x}+k_{t} \theta=0 \end{gathered}
Os valores dos parâmetros físicos são: m=10[\mathrm{~kg}] ; J=0.8\left[\mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}\right] ; k=2000[\mathrm{~N} / \mathrm{m}] ; k_{t}=40000[\mathrm{~N} \mathrm{m} / \mathrm{rad}] ; ~ e=0.3[\mathrm{~m}]. Pede-se:
(a) (1.0) - Calcule as frequências naturais;
(b) (1.0) - Calcule os modos de vibrar.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações do movimento de um sistema com dois graus de liberdade e os valores dos parâmetros:
  • Equações:
\begin{gathered} m \ddot{x}-m e \ddot{\theta}+k x=0,\\[4pt] \left(J+m e^{2}\right) \ddot{\theta}-m e \ddot{x}+k_{t} \theta=0.
  • Parâmetros dados:
m=10,\quad J=0,8,\quad k=2000,\quad k_{t}=40000,\quad e=0,3.
O enunciado pede:
(a) Calcular as frequências naturais.
(b) Calcular os modos de vibrar (as formas modais).]

Passo 2

Vamos escrever o problema como um problema matricial clássico de autovalores. Para equações da forma
\mathbf{M}\,\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{K}\,\mathbf{q}=\mathbf{0},
onde \mathbf{q}=\begin{pmatrix}x\\[2pt]\theta\end{pmatrix}, a matriz de massa \mathbf{M} e de rigidez \mathbf{K} são obtidas agrupando os coeficientes das acelerações e dos termos proporcionais às coordenadas:
  • Coeficientes das acelerações: da primeira equação o termo em \ddot{x} é m e em \ddot{\theta} é -m e. Da segunda equação o termo em \ddot{x} é -m e e em \ddot{\theta} é J+m e^{2}. Portanto
\mathbf{M}=\begin{pmatrix} m & -m e\\[4pt] -m e & J+m e^{2} \end{pmatrix}.
  • Coeficientes elásticos (rigidez): só há termos k x e k_{t}\theta, sem acoplamento elástico, portanto
\mathbf{K}=\begin{pmatrix} k & 0\\[4pt] 0 & k_{t} \end{pmatrix}.
Substituímos os valores numéricos (lembre que m e=10\cdot0,3=3 e J+m e^{2}=0,8+10\cdot0,09=0,8+0,9=1,7):
\mathbf{M}=\begin{pmatrix}10 & -3\\[4pt]-3 & 1,7\end{pmatrix},\qquad \mathbf{K}=\begin{pmatrix}2000 & 0\\[4pt]0 & 40000\end{pmatrix}.]

Passo 3

As frequências naturais aparecem resolvendo o problema de autovalores
\det\big(\mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M}\big)=0.
Definindo \lambda=\omega^{2} (para simplificar a escrita), montamos a matriz \mathbf{K}-\lambda\mathbf{M}:
\mathbf{K}-\lambda\mathbf{M}= \begin{pmatrix} 2000-10\lambda & \;+\;3\lambda\\[4pt] \;+\;3\lambda & 40000-1{,}7\lambda \end{pmatrix},
porque o elemento (1,2) é 0 - \lambda(-3)=+3\lambda e o (2,1) é idem.
O determinante é
\det(\mathbf{K}-\lambda\mathbf{M})=(2000-10\lambda)(40000-1{,}7\lambda)-(3\lambda)^{2}.]

Passo 4

Vamos expandir o determinante e obter o polinômio em \lambda.
Primeiro o produto:
(2000-10\lambda)(40000-1{,}7\lambda)=2000\cdot40000-2000\cdot1{,}7\lambda-10\lambda\cdot40000+(-10\lambda)(-1{,}7\lambda).
Calculando cada termo:
2000\cdot40000=80\,000\,000,
-2000\cdot1{,}7\lambda=-3\,400\lambda,
-10\lambda\cdot40000=-400\,000\lambda,
(-10\lambda)(-1{,}7\lambda)=17\lambda^{2}.
Somando:
(2000-10\lambda)(40000-1{,}7\lambda)=80\,000\,000-(3\,400+400\,000)\lambda+17\lambda^{2} =80\,000\,000-403\,400\lambda+17\lambda^{2}.
Subtraindo (3\lambda)^{2}=9\lambda^{2} do acima:
\det(\mathbf{K}-\lambda\mathbf{M})=80\,000\,000-403\,400\lambda+(17-9)\lambda^{2} =80\,000\,000-403\,400\lambda+8\lambda^{2}.
A condição característica é, portanto,
8\lambda^{2}-403\,400\lambda+80\,000\,000=0.

Passo 5

Resolva a equação quadrática para \lambda. Use a fórmula quadrática:
\lambda=\frac{403\,400\pm\sqrt{403\,400^{2}-4\cdot8\cdot80\,000\,000}}{2\cdot8}.
Calcule o discriminante:
\Delta=403\,400^{2}-4\cdot8\cdot80\,000\,000\approx160\,171\,560\,000.
\sqrt{\Delta}\approx400\,214{,}393.
Assim os dois autovalores são
\lambda_{1}=\frac{403\,400-400\,214{,}393}{16}\approx199{,}10044,
\lambda_{2}=\frac{403\,400+400\,214{,}393}{16}\approx50\,225{,}8996.
Lembrando que \lambda=\omega^{2}, obtemos as frequências naturais (em rad/s):
\omega_{1}=\sqrt{\lambda_{1}}\approx\sqrt{199{,}10044}\approx14{,}110,
\omega_{2}=\sqrt{\lambda_{2}}\approx\sqrt{50\,225{,}8996}\approx224{,}111.
Se for preciso em hertz, f=\omega/(2\pi):
f_{1}\approx\frac{14{,}110}{2\pi}\approx2{,}246\\ \mathrm{Hz},\qquad f_{2}\approx\frac{224{,}111}{2\pi}\approx35{,}65\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Agora encontramos os modos (autovetores). Para cada \lambda resolvemos
(\mathbf{K}-\lambda\mathbf{M})\boldsymbol{\varphi}=\mathbf{0},
onde \boldsymbol{\varphi}=\begin{pmatrix}\phi_{1}\\[2pt]\phi_{2}\end{pmatrix}.
Usamos a primeira linha da matriz:
(2000-10\lambda)\phi_{1}+3\lambda\phi_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\phi_{1}}{\phi_{2}}=\frac{-3\lambda}{2000-10\lambda}.
Para \lambda_{1}\approx199{,}10044:
2000-10\lambda_{1}\approx2000-1991{,}0044\approx8{,}9956,
3\lambda_{1}\approx597{,}3013,
\frac{\phi_{1}}{\phi_{2}}=\frac{-597{,}3013}{8{,}9956}\approx-66{,}431.
Escolhendo normalizar o vetor impondo \phi_{1}=1 (escolha comum e simples), obtemos
\boldsymbol{\varphi}^{(1)}\approx\begin{pmatrix}1\\[2pt]-0{,}015060\end{pmatrix},
pois \phi_{2}\approx1/(-66{,}431)\approx-0{,}015060.
Para \lambda_{2}\approx50\,225{,}8996:
2000-10\lambda_{2}\approx2000-502\,258{,}996\approx-500\,258{,}996,
3\lambda_{2}\approx150\,677{,}699,
\frac{\phi_{1}}{\phi_{2}}=\frac{-150\,677{,}699}{-500\,258{,}996}\approx0{,}30135.
Escolhendo \phi_{2}=1 (nova normalização conveniente), obtemos
\boldsymbol{\varphi}^{(2)}\approx\begin{pmatrix}0{,}30135\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Observações sobre a normalização: os autovetores são únicos até uma constante multiplicativa (sinal e escala). Aqui optei por escalonar cada modo de forma simples ( \phi_{1}=1 no modo 1 e \phi_{2}=1 no modo 2) para clareza. Poder-se-ia normalizar pela norma, pela massa modal, etc., dependendo da aplicação.]

Passo 7

Interpretação física rápida (para te dar confiança): o modo de baixa frequência ( \omega_{1}\approx14{,}110) tem \phi_{1} grande e \phi_{2} muito pequeno (sinal negativo pequeno), ou seja, o movimento é principalmente translacional em x com uma pequena rotação contrária. O modo de alta frequência ( \omega_{2}\approx224{,}111) tem rotação significativa ( \phi_{2} maior) e deslocamento x menor relativo à rotação.

Resposta

(a) \omega_{1}\approx14{,}110\\ \mathrm{rad/s},\\ \omega_{2}\approx224{,}111\\ \mathrm{rad/s}.
(b) \displaystyle \boldsymbol{\varphi}^{(1)}\approx\begin{pmatrix}1\\[2pt]-0{,}015060\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{\varphi}^{(2)}\approx\begin{pmatrix}0{,}30135\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

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