A temperatura de 3,00 \mathrm{mols} de um gás \operatorname{com} C_{V}=6,00 \mathrm{cal} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{K} é aumentada de 50,0 \mathrm{~K}.
Se o processo é conduzido a volume constante, determine a variação \Delta K da energia cinética de translação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • n=3{,}00\\ \mathrm{mol}.
    • C_V=6{,}00\\ \mathrm{cal/(mol\cdot K)}.
    • A variação de temperatura é \Delta T=50{,}0\\ \mathrm{K}.
    • O processo ocorre a volume constante.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a variação \Delta K da energia cinética de translação do gás.

Passo 2

Entendendo o que é pedido e qual princípio usar (explicação didática, passo a passo).
  • A energia cinética de translação por mol de um gás ideal, segundo o teorema da equipartição (modelo clássico), é dada por
K_{\text{trans, mol}}=\frac{3}{2}R T,
onde:
  • K_{\text{trans, mol}} é a energia cinética de translação por mol (unidade: energia/mol),
  • R é a constante dos gases ideais (unidade: energia/(mol·K)),
  • T é a temperatura em kelvin.
  • O teorema da equipartição diz que cada grau de liberdade quadrático contribui com \tfrac{1}{2}kT por molécula (ou \tfrac{1}{2}RT por mol). A translação tem três graus de liberdade (movimento nas três direções), por isso o fator \tfrac{3}{2}.
  • A variação total da energia cinética de translação ao mudar a temperatura de \Delta T é, para n mols,
\Delta K = n\cdot\frac{3}{2}R\,\Delta T.
Nesta fórmula:
  • \Delta K é a variação total da energia cinética de translação (unidade: energia),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ideais,
  • \Delta T é a variação de temperatura.
Observação: não usamos diretamente C_V do enunciado para calcular a parte translacional porque C_V inclui todas as contribuições internas (translação + rotação + vibração, se houver). Como a questão pede apenas a parte de translação, aplicamos a contribuição translacional determinada pela equipartição.

Passo 3

Escolha de unidades e valor numérico de R.
  • Vou trabalhar no sistema SI (joules) porque a resposta costuma ser pedida em joules. O valor da constante dos gases é
R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
(Se preferir usar calorias, R=1{,}987\\ \mathrm{cal/(mol\cdot K)}; ambas rotas dão o mesmo resultado após conversão.)

Passo 4

Aplicando a fórmula e calculando passo a passo.
  • Fórmula:
\Delta K = n\cdot\frac{3}{2}R\,\Delta T.
  • Substituindo os valores:
\Delta K = 3{,}00\cdot\frac{3}{2}\cdot 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\cdot 50{,}0\\ \mathrm{K}.
  • Calcule primeiro o fator numérico:
3{,}00\cdot\frac{3}{2}=3{,}00\cdot 1{,}5=4{,}50.
  • Agora multiplica por R:
4{,}50\cdot 8{,}314 = 37{,}413\\ \mathrm{J/K}.
  • Finalmente multiplica por \Delta T:
\Delta K = 37{,}413\\ \mathrm{J/K}\cdot 50{,}0\\ \mathrm{K} = 1\,870{,}65\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando com 3 dígitos significativos (os dados têm 3 sinais relevantes) obtemos
\Delta K \approx 1{,}87\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.

Resposta

1{,}87\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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