2 ^ a Questão (3,0) :
A bola na extremidade de um pêndulo simples de comprimento L é largada, do repouso, de um ângulo theta0. (a) Use o modelo de movimento harmônico simples para o movimento deste pêndulo e determine sua velocidade ao passar pela posição de equilíbrio. (b) Usando a conservação da energia determine sua velocidade para qualquer ângulo (não apenas ângulos pequenos). (c) Mostre que o resultado do item (b) coincide com o do item (a) quando theta0 é pequeno.

Passo 1

O enunciado trata de um pêndulo simples de comprimento L que parte do repouso num deslocamento angular theta0. Em (a) usamos o modelo de movimento harmônico simples (MHS) válido para pequenos ângulos; em (b) aplicamos conservação de energia sem restrição de ângulo; em (c) mostramos que, para theta0 pequeno, o resultado de (b) reduz-se ao de (a).

Passo 2

No modelo de MHS aproximamos sinthetaapproxtheta para ângulos pequenos. A equação de movimento fica
d^2thetadt^2 + gL,theta = 0,
cuja solução geral é
theta(t) = theta0cos(omega t),
com omega = raizgL e condições iniciais theta(0)=theta0, dottheta(0)=0. A velocidade angular é
dottheta(t) = -theta0,omegasin(omega t)
Ao passar pela vertical ( theta=0, que ocorre quando omega t=tfracpi2) temos |sin(omega t)|=1, logo a magnitude da velocidade angular é theta0,omega. A velocidade linear na massa é
v = L,|dottheta| = L,theta0,omega = theta0,raizgL

Passo 3

Pelo princípio da conservação de energia, tomando energia potencial zero na posição de equilíbrio ( theta=0), a variação de energia potencial ao cair de theta0 para um ângulo qualquer theta é
De<a U = mg,Ll(costheta - costheta0r)
Essa perda de energia potencial vira energia cinética, de modo que
tfrac12 m v^2 = mgLl(costheta - costheta0r)
Isolando v obtemos
v(theta) = raiz2gL,l(costheta - costheta0r)

Passo 4

Para comparar (b) com (a) avaliamos v(theta) em theta=0:
v(0) = raiz2gL,l(cos0 - costheta0r) = raiz2gL,l(1 - costheta0r)
Para pequeno theta0 usamos a expansão costheta0approx1 - tfractheta0^22. Assim
1 - costheta0approx theta0^22 Longrightarrow v(0)approx raiz2gL,theta0^22 = theta0,raizgL,
que coincide com o resultado do MHS.

Resposta

(a) v = theta0,raizgL
(b) v(theta) = raiz2gL,l(costheta - costheta0r)
(c) Para theta0 pequeno, costheta0approx1-tfractheta0^22 implica v(0)approxtheta0raizgL, igual ao item (a).

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