Questão
:
A bola na extremidade de um pêndulo simples de comprimento
é largada, do repouso, de um ângulo
. (a) Use o modelo de movimento harmônico simples para o movimento deste pêndulo e determine sua velocidade ao passar pela posição de equilíbrio. (b) Usando a conservação da energia determine sua velocidade para qualquer ângulo (não apenas ângulos pequenos). (c) Mostre que o resultado do item (b) coincide com o do item (a) quando
é pequeno.
A bola na extremidade de um pêndulo simples de comprimento
Passo 1
O enunciado trata de um pêndulo simples de comprimento
que parte do repouso num deslocamento angular
. Em (a) usamos o modelo de movimento harmônico simples (MHS) válido para pequenos ângulos; em (b) aplicamos conservação de energia sem restrição de ângulo; em (c) mostramos que, para
pequeno, o resultado de (b) reduz-se ao de (a).
Passo 2
No modelo de MHS aproximamos
para ângulos pequenos. A equação de movimento fica
cuja solução geral é
com
e condições iniciais
,
. A velocidade angular é
Ao passar pela vertical (
, que ocorre quando
) temos
, logo a magnitude da velocidade angular é
. A velocidade linear na massa é
Passo 3
Pelo princípio da conservação de energia, tomando energia potencial zero na posição de equilíbrio (
), a variação de energia potencial ao cair de
para um ângulo qualquer
é
Essa perda de energia potencial vira energia cinética, de modo que
Isolando
obtemos
Passo 4
Para comparar (b) com (a) avaliamos
em
:
Para pequeno
usamos a expansão
. Assim
que coincide com o resultado do MHS.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para pequeno,
implica
, igual ao item (a).
(b)
(c) Para