Um bloco de massa m=4,0 kg é lançado com velocidade inicial v0=10 m / s sobre uma superfície horizontal rugosa. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície varia linearmente com a posição x de acordo com muk(x)=0,1+0,05 x (onde x está em metros). O bloco é submetido a uma força externa variável F(x)= (20-2 x) i N, que atua na mesma direção do movimento.
(a) Determine o trabalho total realizado sobre o bloco desde x=0 até o ponto onde sua velocidade se reduz a v=2 m / s.
(b) Encontre a posição x em que a velocidade do bloco atinge 2 m / s.
(c) Calcule a potência dissipada pelo atrito no instante em que x=5 m.

Passo 1

O enunciado trata de um bloco de massa m=4,0,kg lançado com velocidade inicial v0=10,m/s sobre uma superfície horizontal onde o coeficiente de atrito cinético varia com a posição conforme
muk(x)=0,1+0,05x
Além disso, há uma força externa na direção do movimento dada por
F(x)=20-2x(em N)
O objetivo é usar o Teorema Trabalho–Energia para:
(a) calcular o trabalho total (ou seja, o trabalho líquido) desde x=0 até o ponto onde v=2,m/s;
(b) encontrar a posição x em que v atinge 2,m/s;
(c) achar a potência dissipada pelo atrito no instante em que x=5,m.

Passo 2

Pelo Teorema Trabalho–Energia, o trabalho total Wrm tot realizado sobre o bloco entre duas posições é igual à variação de energia cinética:
Wrm tot=De<a K = tfrac12,ml(v^2 - v0^2r)
Para v0=10,m/s e v=2,m/s temos
Wrm tot = tfrac12cdot4l(2^2 - 10^2r) =2,(4 -100) =2cdot(-96) =-192 J

Passo 3

Para determinar a posição x em que a velocidade chega a 2,m/s, escrevemos o trabalho líquido como
Wrm ext+Wrm atrito =integral0^xF(x'),dx' ;-;integral0^xfrm atr(x'),dx' ;=;De<a K = -192 J
Aqui
integral0^xF(x'),dx' = integral0^x(20-2x'),dx' =20x - x^2,
e a força de atrito é
frm atr(x)=muk(x),m,g =l(0,1+0,05xr),4cdot9,8 =3,92 +1,96x,
logo
integral0^xfrm atr(x'),dx' =3,92,x +0,98,x^2
Assim o trabalho líquido é
20x - x^2 - l(3,92x +0,98x^2r) =16,08,x -1,98,x^2
e impomos
16,08,x -1,98,x^2 = -192
Rearranjando:
1,98,x^2 -16,08,x -192 =0
Resolvendo a equação quadrática (pela fórmula de Bhaskara) mantém-se a raiz positiva
x approx 14,7 m

Passo 4

Para calcular a potência dissipada pelo atrito em x=5,m precisamos do valor de v nesse ponto. Usamos novamente o Teorema Trabalho–Energia entre 0 e 5:
De<a K(0to5) =integral0^5l[F(x)-frm atr(x)r]dx
Já temos
integral0^5F(x),dx =20cdot5-5^2=100-25=75,
integral0^5frm atr(x),dx =3,92cdot5 +0,98cdot5^2 =19,6 +24,5=44,1,
logo trabalho líquido até x=5 é
75 -44,1 =30,9 J
Isto gera variação de energia cinética
tfrac12cdot4,v^2 - tfrac12cdot4,(10)^2 =30,9 Longrightarrow 2,v^2 -200 =30,9 Longrightarrow v^2 =115,45 Longrightarrow vapprox10,74 m/s

Passo 5

A potência dissipada pelo atrito é
Prm atrito = frm atr(5);times;v(5)
Em x=5,
frm atr(5) = l(0,1+0,05cdot5r),4cdot9,8 =0,35cdot39,2 =13,72 N,
e v(5)approx10,74,m/s, logo
Prm atrito =13,72times10,74 approx147,5 W

Resposta

(a) Wrm tot=-192 J
(b) xapprox14,7 m
(c) Prm atritoapprox147,5 W

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