Um satélite artificial de massa m orbita nosso planeta Terra com umá órbita circular à velocidade angular omega. Considere que a massa da terra seja representada por MT.
a) Calcule a distância entre o satélite c o centro da Terra em termos dos dados apresentados no enunciado do problema e da constante de gravitação universal G ( 1 0 pontos).
b) Também em’função dos dados fornecidos e dạ constante G, obtenha a energia cinética, a energir potencial gravitacional e a energia mecânica total do satélite (considere qué a energia potencial gravitacional no infinito é igual a zero ( 1 5 pontos).

Passo 1

O enunciado trata de um satélite de massa m em órbita circular de raio r em torno da Terra (massa MT), com velocidade angular omega. No item (a) vamos usar o equilíbrio entre a força gravitacional e a força centrípeta para obter r em função de G, MT e omega. No item (b) vamos calcular a energia cinética T, a energia potencial gravitacional U (adotando U(infty)=0) e a energia mecânica total E=T+U.

Passo 2

A condição de órbita circular é
Fgrav = Fcen
ou seja
G,MT,mr^2 ;=; m,omega^2,r
Cancelando m e rearranjando, obtemos
omega^2,r^3 = G,MT Longrightarrow r^3 = G,MTomega^2 Longrightarrow r = gl(G,MTomega^2gr)^!1/3

Passo 3

A energia cinética do satélite é
T = 12,m,v^2,
com v=omega,r. Substituindo r e v
T = 12,m,omega^2,r^2 = 12,m,omega^2, gl(G,MTomega^2gr)^!2/3 = 12,m,(G,MT)^2/3,omega^2/3

Passo 4

Adotando U(infty)=0, a energia potencial gravitacional é
U(r) = -G,MT,mr
Substituindo r encontrado, obtemos
U = -,m, G,MTl(G,MT/omega^2r)^1/3 = -,m,(G,MT)^2/3,omega^2/3

Passo 5

A energia mecânica total é
E = T + U = 12,m,(G,MT)^2/3,omega^2/3 - m,(G,MT)^2/3,omega^2/3 = -12,m,(G,MT)^2/3,omega^2/3

Resposta

a) r = gl(G,MTomega^2gr)^!1/3
b) T = 12,m,(G,MT)^2/3,omega^2/3, U = -,m,(G,MT)^2/3,omega^2/3, E = -12,m,(G,MT)^2/3,omega^2/3

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