Resolva o sistema amortecido:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+5y=0,\qquad y(0)=0,\qquad y^{\prime}(0)=2.
Pergunta: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. Informações relevantes: equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e duas condições iniciais (valor de y e de y' em t=0).

Passo 2

Vamos buscar a solução geral resolvendo a equação característica associada. Para uma equação da forma
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+5y=0,
a equação característica é obtida substituindo y=e^{rt}, o que leva a
r^2+4r+5=0.
Isso transforma o problema em resolver uma equação quadrática em r.

Passo 3

Resolvendo a quadrática \,r^2+4r+5=0, usando a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1} =\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2} =\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2} =\frac{-4\pm 2i}{2} =-2\pm i.
Portanto as raízes são complexas conjugadas \,r=-2\pm i.

Passo 4

Quando as raízes da característica são complexas conjugadas \,r=\alpha\pm i\beta, (aqui \alpha=-2 e \beta=1), a solução geral da equação diferencial é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big).
Substituindo \alpha=-2 e \beta=1 obtemos a forma geral
y(t)=e^{-2t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=0. Avaliando y(t) em t=0:
y(0)=e^{0}\big(C_1\cos 0 + C_2\sin 0\big)=1\cdot(C_1\cdot1 + C_2\cdot0)=C_1.
Como y(0)=0, segue que
C_1=0.

Passo 6

Agora precisamos da derivada y'(t) para aplicar y'(0)=2. Partindo de
y(t)=e^{-2t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big),
vamos derivar passo a passo usando a regra do produto. Primeiro escrevo a derivada da parte trigonométrica:
\frac{d}{dt}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big)=-C_1\sin t + C_2\cos t.
A derivada de e^{-2t} é -2e^{-2t}. Aplicando a regra do produto:
y'(t)=e^{-2t}(-C_1\sin t + C_2\cos t)+(-2e^{-2t})(C_1\cos t + C_2\sin t).
Fatorando e^{-2t} e juntando termos:
y'(t)=e^{-2t}\big((-C_1\sin t + C_2\cos t)-2C_1\cos t -2C_2\sin t\big).
Agrupando as partes em \cos t e \sin t:
y'(t)=e^{-2t}\big(( -2C_1 + C_2)\cos t +(-C_1 -2C_2)\sin t\big).

Passo 7

Agora avaliamos y'(t) em t=0 e usamos y'(0)=2. Em t=0 temos \cos0=1, \sin0=0 e e^{0}=1, então
y'(0)=(-2C_1 + C_2)\cdot 1 +(-C_1 -2C_2)\cdot 0 = -2C_1 + C_2.
Mas já encontramos C_1=0 no Passo 5, logo
y'(0)=C_2.
Como y'(0)=2, segue que
C_2=2.

Passo 8

Com C_1=0 e C_2=2 substituímos na solução geral. Assim a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(t)=e^{-2t}\big(0\cdot\cos t + 2\sin t\big)=2e^{-2t}\sin t.
Se quiseres, dá para checar rapidamente que y(0)=0 e y'(0)=2 (já verificado nos passos anteriores), e que a forma e^{-2t} multiplica a parte oscilatória \sin t, caracterizando amortecimento exponencial combinado com oscilação.

Resposta

y(t)=2e^{-2t}\sin t

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