Resolva o sistema amortecido:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
Pergunta: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. Informações relevantes: equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e duas condições iniciais (valor de
e de
em
).
Passo 2
Vamos buscar a solução geral resolvendo a equação característica associada. Para uma equação da forma
a equação característica é obtida substituindo
, o que leva a
Isso transforma o problema em resolver uma equação quadrática em
.
Passo 3
Resolvendo a quadrática
, usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto as raízes são complexas conjugadas
.
Passo 4
Quando as raízes da característica são complexas conjugadas
, (aqui
e
), a solução geral da equação diferencial é
Substituindo
e
obtemos a forma geral
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Avaliando
em
:
Como
, segue que
Passo 6
Agora precisamos da derivada
para aplicar
. Partindo de
vamos derivar passo a passo usando a regra do produto. Primeiro escrevo a derivada da parte trigonométrica:
A derivada de
é
. Aplicando a regra do produto:
Fatorando
e juntando termos:
Agrupando as partes em
e
:
Passo 7
Agora avaliamos
em
e usamos
. Em
temos
,
e
, então
Mas já encontramos
no Passo 5, logo
Como
, segue que
Passo 8
Com
e
substituímos na solução geral. Assim a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Se quiseres, dá para checar rapidamente que
e
(já verificado nos passos anteriores), e que a forma
multiplica a parte oscilatória
, caracterizando amortecimento exponencial combinado com oscilação.