Calcule a resposta impulsiva (entrada
) de:
Passo 1
O enunciado pede a resposta impulsiva (saída quando a entrada é
) do sistema linear definido pela equação diferencial com condições iniciais:
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace — é a forma padrão e direta para resolver ODEs com entrada
e condições iniciais nulas. Rápida aula sobre Laplace (do jeito curto e útil):
- A transformada de Laplace de uma função
é
- Propriedades úteis que usaremos:
- Linearidade:
. - Derivadas:
e . - Impulso:
.
- Linearidade:
- Em problemas causais usamos integrale a partir de
, e o resultado está em termos de . Depois aplicamos a transformada inversa para voltar para .
Passo 3
Aplicando
na equação
e denotando
, usando as fórmulas de derivada e as condições iniciais
:
Substituindo:
Como
e
, isso simplifica para
Passo 4
Colocando
em evidência:
Fatorando o polinômio do denominador:
Portanto
Passo 5
Vamos decompor em frações parciais para inverter mais fácil. Buscamos
tais que
Multiplicando por
:
Escolhemos valores de
para achar
e
:
- Colocando
: então . - Colocando
: então .
Logo
Passo 6
Agora usamos as transformadas inversas básicas:
- Sabemos que
, onde é a função degrau unitário (garante causalidade). Aqui e .
Então
Passo 7
Aplicando a transformada inversa termo a termo em
obtemos a resposta no domínio do tempo (para
). Esta é a resposta impulsiva do sistema (saída quando a entrada é
).