Calcule a resposta impulsiva (entrada \delta(t) ) de:
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=\delta(t), \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a resposta impulsiva (saída quando a entrada é \delta(t)) do sistema linear definido pela equação diferencial com condições iniciais:
y'' + 5y' + 6y = \delta(t), \quad y(0)=0,\; y'(0)=0.
Informações relevantes dadas:
\text{(i) A entrada é } \delta(t) \text{ (impulso unitário).}éá
\text{(ii) Condições iniciais: } y(0)=0,\; y'(0)=0.çõ
\text{(iii) Equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.}çã

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace — é a forma padrão e direta para resolver ODEs com entrada \delta(t) e condições iniciais nulas. Rápida aula sobre Laplace (do jeito curto e útil):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Propriedades úteis que usaremos:
    • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\} = a F + b G.
    • Derivadas: \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) e \mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0).
    • Impulso: \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1.
  • Em problemas causais usamos integrale a partir de 0, e o resultado está em termos de s. Depois aplicamos a transformada inversa \mathcal{L}^{-1} para voltar para t.

Passo 3

Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} na equação
y'' + 5y' + 6y = \delta(t),
e denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, usando as fórmulas de derivada e as condições iniciais y(0)=0,\;y'(0)=0:
\mathcal{L}\{y''\} + 5\mathcal{L}\{y'\} + 6\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{\delta(t)\}.
Substituindo:
(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 5(s Y(s) - y(0)) + 6 Y(s) = 1.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isso simplifica para
s^2 Y(s) + 5s Y(s) + 6 Y(s) = 1.

Passo 4

Colocando Y(s) em evidência:
Y(s)\bigl(s^2 + 5s + 6\bigr) = 1.
Fatorando o polinômio do denominador:
s^2 + 5s + 6 = (s+2)(s+3).
Portanto
Y(s) = \frac{1}{(s+2)(s+3)}.

Passo 5

Vamos decompor em frações parciais para inverter mais fácil. Buscamos A,B tais que
\frac{1}{(s+2)(s+3)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3}.
Multiplicando por (s+2)(s+3):
1 = A(s+3) + B(s+2).
Escolhemos valores de s para achar A e B:
  • Colocando s=-2: 1 = A(1) + B(0) então A=1.
  • Colocando s=-3: 1 = A(0) + B(-1) então B=-1.
    Logo
Y(s) = \frac{1}{s+2} - \frac{1}{s+3}.

Passo 6

Agora usamos as transformadas inversas básicas:
  • Sabemos que \mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\} = \dfrac{1}{s+a}, onde u(t) é a função degrau unitário (garante causalidade). Aqui a>0 e t\ge0.
    Então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\} = e^{-2t}u(t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+3}\right\} = e^{-3t}u(t).

Passo 7

Aplicando a transformada inversa termo a termo em Y(s)=\dfrac{1}{s+2}-\dfrac{1}{s+3} obtemos a resposta no domínio do tempo (para t\ge0). Esta é a resposta impulsiva do sistema (saída quando a entrada é \delta(t)).

Resposta

y(t) = \bigl(e^{-2t} - e^{-3t}\bigr)u(t)

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