Usando a mudança de variáveis
, calcule a integral
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o primeiro quadrante limitado pela curva
i.e.\ o quarto de disco de raio
.
Embora o enunciado mencione a mudança , ela não simplifica o contorno de
. Em vez disso, vamos usar coordenadas polares, que exploram a simetria em
.
Embora o enunciado mencione a mudança
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
logo
O contorno
vira
, i.e.\
. No primeiro quadrante
varia de
a
. Assim
Passo 3
Vamos primeiro calcular
Fazemos a substituição
Quando
temos
, e quando
temos
. Portanto
Passo 4
Agora voltamos à integral completa em
: