Usando a mudança de variáveis u=3 x, v=2 y, calcule a integral \iint \operatorname{sen}\left(4 x^{2}+\right. \left.4 y^{2}\right) d x d y, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse 4 x^{2}+4 y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \iint_{R} \sin\bigl(4x^2+4y^2\bigr)\,dx\,dy,
onde R é o primeiro quadrante limitado pela curva
4x^2+4y^2=1,
i.e.\ o quarto de disco de raio 1/2.
Embora o enunciado mencione a mudança u=3x,\;v=2y, ela não simplifica o contorno de R. Em vez disso, vamos usar coordenadas polares, que exploram a simetria em x^2+y^2.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
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x^2 + y^2 = r^2, \qquad \,dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
O contorno 4x^2+4y^2=1 vira 4r^2=1, i.e.\ r=1/2. No primeiro quadrante \theta varia de 0 a \pi/2. Assim
I = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{1/2} \sin\bigl(4r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Vamos primeiro calcular
\int_{0}^{1/2}\sin\bigl(4r^2\bigr)\,r\,dr.
Fazemos a substituição
t = 4r^2 \quad\Longrightarrow\quad dt = 8r\,dr \quad\Longrightarrow\quad r\,dr = \frac{dt}{8}.
Quando r=0 temos t=0, e quando r=1/2 temos t=4\bigl(\tfrac12\bigr)^2=1. Portanto
\int_{0}^{1/2}\sin(4r^2)\,r\,dr = \int_{t=0}^{1}\sin t\,\frac{dt}{8} = \frac{1}{8}\int_{0}^{1}\sin t\,dt = \frac{1}{8}\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{8}\bigl(1-\cos 1\bigr).

Passo 4

Agora voltamos à integral completa em \theta:
I = \int_{0}^{\pi/2}\!\Bigl[\tfrac{1}{8}(1-\cos 1)\Bigr]\,d\theta = \frac{1-\cos 1}{8}\,\cdot\Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1-\cos 1}{8}\,\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16}\,\bigl(1-\cos 1\bigr).

Resposta

\boxed{\,\frac{\pi}{16}\,\bigl(1-\cos 1\bigr)\,}.

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