Calcule a integral dupla sobre a região R dada nos seguintes casos abaixo:
\iint_{R} \frac{x y}{x^{2}+1} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{x\,y}{x^{2}+1}\,dA
na região retangular
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2\}.
O conteúdo principal aqui é aplicar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em um iterado e depois integrar em y e em x.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iint_{R}\frac{x\,y}{x^{2}+1}\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2}\frac{x\,y}{x^{2}+1}\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro fazemos a integral interna em y, tratando x como constante:
\int_{y=0}^{2}\frac{x\,y}{x^{2}+1}\,dy =\frac{x}{x^{2}+1}\int_{0}^{2}y\,dy =\frac{x}{x^{2}+1}\cdot\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{x}{x^{2}+1}\cdot2.
Logo a integral iterada vira
\int_{0}^{1}2\;\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}2\;\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =2\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Fazendo a substituição u=x^{2}+1, temos du=2x\,dx, então
2\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\int_{u=1}^{2}\frac{1}{u}\,du =\bigl[\ln(u)\bigr]_{1}^{2} =\ln(2)-\ln(1) =\ln(2).

Resposta

\ln(2)

Exercícios relacionados