Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-N

Passo 1

O PVI é dado por
y' - yt+1 = 2t+2, t>-1, y(1) = 5 - N
É uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos usar fator integrante.

Passo 2

O fator integrante mu(t) é calculado por
mu(t) = expl(integral -1t+1,dtr) = exp(-ln(t+1)) = 1t+1

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t) obtemos
ddtl(yt+1r) = 2t+2t+1 = 2
Integrando em relação a t, vem
yt+1 = 2t + C,
onde C é a constante de integração. Então a solução geral é
y = (2t + C)(t+1)

Passo 4

Usando a condição inicial y(1)=5-N, substituímos t=1 e y=5-N em y=(2t+C)(t+1), obtendo
5 - N = (2cdot1 + C),(1+1) = 2(2 + C)
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2 + C = 5 - N2, C = 1 - N2

Passo 5

Substituindo C = tfrac1-N2 na solução geral y=(2t+C)(t+1), ficamos com
y(t) = l(2t + 1-N2r)(t+1)

Resposta

y(t) = l(2t + tfrac1-N2r)(t+1)

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