Questão B.1: (1.5 pontos) Derive y=x^4 / 5 raiz[6]x^4+1(3 x^2+2)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=x^4/5raiz[6]x^4+1(3x^2+2)^4. O conteúdo envolve regra do quociente, regra da cadeia e derivada de funções potenciais. Para facilitar, vamos usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Primeiro reescrevemos y como um produto de potências para aplicar a log-diferenciação:
y = x^45 ,(x^4+1)^16,(3x^2+2)^-4

Passo 3

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = 45ln x + 16ln(x^4+1) - 4ln(3x^2+2)

Passo 4

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Lembrando que ddxln y=y'y:
y'y = 45cdot1x + 16cdot4x^3x^4+1 - 4cdot6x3x^2+2

Passo 5

Simplificamos os coeficientes:
y'y = 45x + 4x^36(x^4+1) - 24x3x^2+2 = 45x + 2x^33(x^4+1) - 24x3x^2+2

Passo 6

Por fim, isolamos y' multiplicando por y (repondo a expressão original de y):
y' = x^45(x^4+1)^16(3x^2+2)^-4l(45x + 2x^33(x^4+1) - 24x3x^2+2r)

Resposta

y' = dfracx^4/5(x^4+1)^1/6(3x^2+2)^4l(45x + 2x^33(x^4+1) - 24x3x^2+2r)

Exercícios relacionados