Questão 6. Calcule o valor da integral abaixo:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral tripla
Informações dadas: os limites de integração são
(o cubo unitário no primeiro octante) e o integrando é a função
, que é positiva e suave no domínio de integração. Portanto a integral é bem definida e finita.
Passo 2
Idéia do método (explico devagar): vamos usar uma representação integral da função
que permite separar as variáveis
. A fórmula básica é, para
,
Justificativa curta dessa fórmula: faça a mudança
, então
e
. Assim, para
e
,
Passo 3
Aplicando essa representação ao integrando e trocando a ordem de integração (a função do integrando é positiva, então podemos usar Fubini/Tonelli sem problema), obtemos
Passo 4
Calcule a integral unidimensional que aparece:
defina a função erro (error function) e mostre a relação. A função erro é
defina a função erro (error function) e mostre a relação. A função erro é
Fazendo a mudança
na integral
, obtemos
É importante entender: essa fórmula expressa a integral de um gaussiano truncado em termos de
.
Passo 5
Substitua essa expressão na fórmula para
:
Passo 6
Faça a mudança de variável
. Então
,
e
. Assim
Passo 7
Agora use a substituição direta envolvendo a função erro: ponha
. Derivando,
Os limites: quando
temos
; quando
temos
. Portanto