Questão 6. Calcule o valor da integral abaixo:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}} d x d y d z

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}\,dx\,dy\,dz.
Informações dadas: os limites de integração são x,y,z\in[0,1] (o cubo unitário no primeiro octante) e o integrando é a função \dfrac{1}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}, que é positiva e suave no domínio de integração. Portanto a integral é bem definida e finita.

Passo 2

Idéia do método (explico devagar): vamos usar uma representação integral da função s\mapsto 1/s^{2} que permite separar as variáveis x,y,z. A fórmula básica é, para s>0,
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s^{2}}.
Justificativa curta dessa fórmula: faça a mudança u=st, então
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s^{2}}\int_{0}^{\infty} u e^{-u}\,du=\frac{1}{s^{2}}\cdot 1!,
e \int_{0}^{\infty} u e^{-u}\,du=1. Assim, para u=x^{2}+y^{2}+z^{2} e s=1+u>0,
\frac{1}{(1+u)^{2}}=\int_{0}^{\infty} t e^{-(1+u)t}\,dt.

Passo 3

Aplicando essa representação ao integrando e trocando a ordem de integração (a função do integrando é positiva, então podemos usar Fubini/Tonelli sem problema), obtemos
\begin{aligned} I &\coloneqq \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,dx\,dy\,dz \\\ &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\infty} t e^{-(1+x^{2}+y^{2}+z^{2})t}\,dt\right)dx\,dy\,dz \\\ &= \int_{0}^{\infty} t e^{-t}\left(\int_{0}^{1}e^{-t x^{2}}dx\right)\left(\int_{0}^{1}e^{-t y^{2}}dy\right)\left(\int_{0}^{1}e^{-t z^{2}}dz\right)dt \\\ &= \int_{0}^{\infty} t e^{-t}\left(\int_{0}^{1}e^{-t x^{2}}dx\right)^{3}dt. \end{aligned}

Passo 4

Calcule a integral unidimensional que aparece:
defina a função erro (error function) e mostre a relação. A função erro é
\operatorname{erf}(u)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{u}e^{-s^{2}}\,ds.
Fazendo a mudança s=\sqrt{t}\,x na integral \int_{0}^{1}e^{-t x^{2}}dx, obtemos
\int_{0}^{1}e^{-t x^{2}}dx=\frac{1}{\sqrt{t}}\int_{0}^{\sqrt{t}}e^{-s^{2}}\,ds=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{t}}\operatorname{erf}(\sqrt{t}).
É importante entender: essa fórmula expressa a integral de um gaussiano truncado em termos de \operatorname{erf}.

Passo 5

Substitua essa expressão na fórmula para I:
\begin{aligned} I &= \int_{0}^{\infty} t e^{-t}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{t}}\operatorname{erf}(\sqrt{t})\right)^{3}dt \\\ &= \frac{\pi^{3/2}}{8}\int_{0}^{\infty} t e^{-t}\cdot t^{-3/2}\operatorname{erf}^{3}(\sqrt{t})\,dt \\\ &= \frac{\pi^{3/2}}{8}\int_{0}^{\infty} t^{-1/2} e^{-t}\operatorname{erf}^{3}(\sqrt{t})\,dt. \end{aligned}

Passo 6

Faça a mudança de variável u=\sqrt{t}. Então t=u^{2}, dt=2u\,du e t^{-1/2}=1/u. Assim
\begin{aligned} I &= \frac{\pi^{3/2}}{8}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{u}e^{-u^{2}}\operatorname{erf}^{3}(u)\cdot 2u\,du \\\ &= \frac{\pi^{3/2}}{4}\int_{0}^{\infty} e^{-u^{2}}\operatorname{erf}^{3}(u)\,du. \end{aligned}

Passo 7

Agora use a substituição direta envolvendo a função erro: ponha w=\operatorname{erf}(u). Derivando,
dw=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-u^{2}}\,du \quad\Longrightarrow\quad e^{-u^{2}}\,du=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,dw.
Os limites: quando u=0 temos w=0; quando u\to\infty temos w\to 1. Portanto
\begin{aligned} I &= \frac{\pi^{3/2}}{4}\int_{0}^{1} w^{3}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,dw \\\ &= \frac{\pi^{3/2}\sqrt{\pi}}{8}\int_{0}^{1} w^{3}\,dw \\\ &= \frac{\pi^{2}}{8}\cdot\frac{1}{4} \qquad\text{(pois }\pi^{3/2}\sqrt{\pi}=\pi^{2}\text{ e }\int_{0}^{1}w^{3}dw=\tfrac{1}{4}\text{)} \\\ &= \frac{\pi^{2}}{32}. \end{aligned}

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{32}

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