Questão C. (campos de 3-vetores em
(\mathbb{R}^{3}) )
O objetivo desta questão é, assim como nas questões A e B , reinterpretar o que é o divergente de um campo vetorial, tendo em vista a discussão no fim da aula do dia 24 .
Sejam \vec{u}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{v}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} e \vec{w}=c_{1} \vec{\imath}+c_{2} \vec{\jmath}+c_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3}. Podemos então associar \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ao 3-vetor definido por:
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} é o paralelogramo tridimensional gerado pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}.
Dizemos que \mathfrak{F} é um campo de 3 -vetores em \mathbb{R}^{3} definido em um domínio D \subset \mathbb{R}^{3} se a cada (x, y, z) \in D associa-se um único paralelogramo orientado:
\mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde f: D \longrightarrow \mathbb{R} é uma função escalar definida em D. Com a noção de campos de 3-vetores, podemos agora estender o gradiente como um operador \nabla que leva campos de 2 -vetores em campos de 3 -vetores definido da seguinte forma: para \mathcal{F}=P \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+Q \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+R \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} um campo de 2-vetores, definimos um novo campo de 3 -vetores tomando:
\nabla \mathcal{F}(x, y, z)=\nabla P(x, y, z) \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+\nabla Q(x, y, z) \wedge \vec{k} \wedge \vec{\imath}+\nabla R(x, y, z) \wedge \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Calcule \nabla \mathcal{F} para os seguintes campos de 2 -vetores: \mathcal{F}=(x+y+z) \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+(x-y-z) \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+(z-y) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Agora, dado \mathcal{F} um campo de 2 -vetores, considere o campo vetorial \vec{F} que está identificado \operatorname{com} \mathcal{F}, isto é, \mathcal{F} \cong \vec{F} (veja a questão B). Mostre que:
Moral da história 2: As questões B e C mostram que a mesma filosofia agora se aplica no espaço euclidiano \mathbb{R}^{3}. Se pensarmos que funções são 0 -campos vetoriais (ou campos escalares), então podemos pensar o gradiente como um operador que leva n-campos vetoriais em ( n+1 )-campos vetoriais, com n=0,1,2, satisfazendo \nabla^{2}=0. Assim, representando por \mathfrak{X}_{n}\left(\mathbb{R}^{3}\right) o espaço de todos os n-campos vetoriais, podemos expressar essa ideia no diagrama:
Observe, entretanto, que a razão para não introduzirmos 2 -campos ou 3 -campos de vetores num curso de cálculo III em \mathbb{R}^{3} é que podemos identificar um 2-campo \mathcal{F} com um campo vetorial \vec{F}, isto é, \mathcal{F} \cong \vec{F} e um 3-campo \mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} como uma função, simplesmente considerando sua parte escalar f. Assim, falamos apenas do rotacional e do divergente em vez de introduzirmos o operador \nabla para campos e 2-campos.
E em dimensões maiores? Como fica? A necessidade de falar de n-campos de vetores surge a partir do momento em que não é mais possível identificar campos com n-campos. Por exemplo, em dimensão 4 , temos uma base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}, \vec{l}\} composta por 4 vetores. Entretanto, temos agora 6 combinações distintas de 2-paralelogramos sem repetição :
De modo que o espaço vetorial composto por 2 -vetores (isto é, paralelogramos gerados por um par de vetores) possui dimensão 6, e não 4. Este exemplo mostra a necessidade de se trabalhar com n-campos em vez de campos e assim, o operador \nabla é a generalização correta das noções de rotacional e divergente que existem para campos em \mathbb{R}^{2} ou em \mathbb{R}^{3}. Tudo isto também está relacionado ao conceito de formas diferenciais, mas falar disso foge bastante do escopo do curso.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Calcular \nabla \mathcal{F} para o campo de 2-vetores
Vamos usar a identificação padrão (da questão B) que associa o 2-campo \mathcal{F} ao vetor com componentes (P,Q,R); com isso \operatorname{div}\vec{F}=\partial_x P+\partial_y Q+\partial_z R.
A partir daqui começamos a calcular passo a passo.
Passo 2
Lembrete útil (aula rápida de conceito): o gradiente de uma função escalar S(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
onde \partial_x S significa \dfrac{\partial S}{\partial x} (derivada parcial de S em relação a x), e analogamente para \partial_y e \partial_z. Vou aplicar isto para P,Q,R em seguida.
Também vamos usar a regra para produto tríplice de vetores em termos de determinante: se u=(u_1,u_2,u_3), v,w são vetores, então
Essa identidade é o que nos permite transformar cada termo \nabla(\cdot)\wedge(\text{par}) em um múltiplo de \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Estou explicando cada derivada parcial: ex.: \partial_x P é o coeficiente de x em P porque P é linear em x,y,z, etc. Se algo te assusta, lembra: derivada parcial trata cada variável isoladamente, olhando x como variável e y,z como constantes.
Passo 4
Agora avaliaremos cada termo \nabla P\wedge \vec{\jmath}\wedge\vec{k}, \nabla Q\wedge \vec{k}\wedge\vec{\imath} e \nabla R\wedge \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} usando o determinante da regra do passo anterior.
Para \nabla P\wedge \vec{\jmath}\wedge\vec{k} escrevemos a matriz cujas linhas são \nabla P, as componentes de \vec{\jmath} e de \vec{k}:
\det\begin{pmatrix} \partial_x P & \partial_y P & \partial_z P\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\partial_x P.
Esses cálculos de determinante são diretos: expandimos pela primeira linha e observamos que só um menor fica não nulo em cada caso, produzindo \partial_x P, \partial_y Q e \partial_z R.]
Passo 5
Somando os três resultados acima obtemos a forma final:
Pronto: mostramos explicitamente que a definição de \nabla para 2-campos devolve o divergente do vetor identificado, multiplicado pela base \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.