Questão C. (campos de 3-vetores em
(\mathbb{R}^{3}) )
O objetivo desta questão é, assim como nas questões A e B , reinterpretar o que é o divergente de um campo vetorial, tendo em vista a discussão no fim da aula do dia 24 .
Sejam \vec{u}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{v}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} e \vec{w}=c_{1} \vec{\imath}+c_{2} \vec{\jmath}+c_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3}. Podemos então associar \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ao 3-vetor definido por:
\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} é o paralelogramo tridimensional gerado pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}.
Dizemos que \mathfrak{F} é um campo de 3 -vetores em \mathbb{R}^{3} definido em um domínio D \subset \mathbb{R}^{3} se a cada (x, y, z) \in D associa-se um único paralelogramo orientado:
\mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde f: D \longrightarrow \mathbb{R} é uma função escalar definida em D. Com a noção de campos de 3-vetores, podemos agora estender o gradiente como um operador \nabla que leva campos de 2 -vetores em campos de 3 -vetores definido da seguinte forma: para \mathcal{F}=P \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+Q \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+R \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} um campo de 2-vetores, definimos um novo campo de 3 -vetores tomando:
\nabla \mathcal{F}(x, y, z)=\nabla P(x, y, z) \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+\nabla Q(x, y, z) \wedge \vec{k} \wedge \vec{\imath}+\nabla R(x, y, z) \wedge \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Calcule \nabla \mathcal{F} para os seguintes campos de 2 -vetores: \mathcal{F}=(x+y+z) \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+(x-y-z) \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+(z-y) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Agora, dado \mathcal{F} um campo de 2 -vetores, considere o campo vetorial \vec{F} que está identificado \operatorname{com} \mathcal{F}, isto é, \mathcal{F} \cong \vec{F} (veja a questão B). Mostre que:
\nabla \mathcal{F}=\operatorname{div} \vec{F} \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Moral da história 2: As questões B e C mostram que a mesma filosofia agora se aplica no espaço euclidiano \mathbb{R}^{3}. Se pensarmos que funções são 0 -campos vetoriais (ou campos escalares), então podemos pensar o gradiente como um operador que leva n-campos vetoriais em ( n+1 )-campos vetoriais, com n=0,1,2, satisfazendo \nabla^{2}=0. Assim, representando por \mathfrak{X}_{n}\left(\mathbb{R}^{3}\right) o espaço de todos os n-campos vetoriais, podemos expressar essa ideia no diagrama:
\mathfrak{X}_{0}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} \mathfrak{X}_{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} \mathfrak{X}_{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} \mathfrak{X}_{3}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} 0
Observe, entretanto, que a razão para não introduzirmos 2 -campos ou 3 -campos de vetores num curso de cálculo III em \mathbb{R}^{3} é que podemos identificar um 2-campo \mathcal{F} com um campo vetorial \vec{F}, isto é, \mathcal{F} \cong \vec{F} e um 3-campo \mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} como uma função, simplesmente considerando sua parte escalar f. Assim, falamos apenas do rotacional e do divergente em vez de introduzirmos o operador \nabla para campos e 2-campos.
E em dimensões maiores? Como fica? A necessidade de falar de n-campos de vetores surge a partir do momento em que não é mais possível identificar campos com n-campos. Por exemplo, em dimensão 4 , temos uma base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}, \vec{l}\} composta por 4 vetores. Entretanto, temos agora 6 combinações distintas de 2-paralelogramos sem repetição :
\vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \quad \vec{\jmath} \wedge \vec{k} \quad \vec{k} \wedge \vec{l} \quad \vec{l} \wedge \vec{\imath} \quad \vec{\imath} \wedge \vec{k} \quad \vec{\jmath} \wedge \vec{l}
De modo que o espaço vetorial composto por 2 -vetores (isto é, paralelogramos gerados por um par de vetores) possui dimensão 6, e não 4. Este exemplo mostra a necessidade de se trabalhar com n-campos em vez de campos e assim, o operador \nabla é a generalização correta das noções de rotacional e divergente que existem para campos em \mathbb{R}^{2} ou em \mathbb{R}^{3}. Tudo isto também está relacionado ao conceito de formas diferenciais, mas falar disso foge bastante do escopo do curso.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Calcular \nabla \mathcal{F} para o campo de 2-vetores
\mathcal{F}=(x+y+z)\cdot \vec{\jmath}\wedge\vec{k}+(x-y-z)\cdot \vec{k}\wedge\vec{\imath}+(z-y)\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
  1. Mostrar que, se \mathcal{F} é identificado com um campo vetorial \vec{F} (conforme a identificação da questão B), vale
\nabla \mathcal{F}=\operatorname{div}\vec{F}\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • Escrevemos \mathcal{F}=P\cdot \vec{\jmath}\wedge\vec{k}+Q\cdot \vec{k}\wedge\vec{\imath}+R\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}, portanto aqui
P(x,y,z)=x+y+z,\qquad Q(x,y,z)=x-y-z,\qquad R(x,y,z)=z-y.
  • A definição do operador pedida é
\nabla \mathcal{F}(x,y,z)=\nabla P\wedge \vec{\jmath}\wedge\vec{k}+\nabla Q\wedge \vec{k}\wedge\vec{\imath}+\nabla R\wedge \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
  • Vamos usar a identificação padrão (da questão B) que associa o 2-campo \mathcal{F} ao vetor com componentes (P,Q,R); com isso \operatorname{div}\vec{F}=\partial_x P+\partial_y Q+\partial_z R.
A partir daqui começamos a calcular passo a passo.

Passo 2

Lembrete útil (aula rápida de conceito): o gradiente de uma função escalar S(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla S=(\partial_x S,\;\partial_y S,\;\partial_z S),
onde \partial_x S significa \dfrac{\partial S}{\partial x} (derivada parcial de S em relação a x), e analogamente para \partial_y e \partial_z. Vou aplicar isto para P,Q,R em seguida.
Também vamos usar a regra para produto tríplice de vetores em termos de determinante: se u=(u_1,u_2,u_3), v,w são vetores, então
u\wedge v\wedge w=\det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\\ v_1 & v_2 & v_3\\\ w_1 & w_2 & w_3\end{pmatrix}\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Essa identidade é o que nos permite transformar cada termo \nabla(\cdot)\wedge(\text{par}) em um múltiplo de \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.

Passo 3

Calculemos os gradientes de P,Q,R.
Para
P(x,y,z)=x+y+z
temos
\partial_x P=1,\qquad \partial_y P=1,\qquad \partial_z P=1,
ou seja \nabla P=(1,1,1).
Para
Q(x,y,z)=x-y-z
temos
\partial_x Q=1,\qquad \partial_y Q=-1,\qquad \partial_z Q=-1,
ou seja \nabla Q=(1,-1,-1).
Para
R(x,y,z)=z-y
temos
\partial_x R=0,\qquad \partial_y R=-1,\qquad \partial_z R=1,
ou seja \nabla R=(0,-1,1).
Estou explicando cada derivada parcial: ex.: \partial_x P é o coeficiente de x em P porque P é linear em x,y,z, etc. Se algo te assusta, lembra: derivada parcial trata cada variável isoladamente, olhando x como variável e y,z como constantes.

Passo 4

Agora avaliaremos cada termo \nabla P\wedge \vec{\jmath}\wedge\vec{k}, \nabla Q\wedge \vec{k}\wedge\vec{\imath} e \nabla R\wedge \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} usando o determinante da regra do passo anterior.
  1. Para \nabla P\wedge \vec{\jmath}\wedge\vec{k} escrevemos a matriz cujas linhas são \nabla P, as componentes de \vec{\jmath} e de \vec{k}:
\det\begin{pmatrix} \partial_x P & \partial_y P & \partial_z P\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\partial_x P.
Portanto
\nabla P\wedge \vec{\jmath}\wedge\vec{k}=\partial_x P\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
  1. Para \nabla Q\wedge \vec{k}\wedge\vec{\imath} a matriz é
\det\begin{pmatrix} \partial_x Q & \partial_y Q & \partial_z Q\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\partial_y Q.
Logo
\nabla Q\wedge \vec{k}\wedge\vec{\imath}=\partial_y Q\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
  1. Para \nabla R\wedge \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} a matriz é
\det\begin{pmatrix} \partial_x R & \partial_y R & \partial_z R\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} =\partial_z R.
Assim
\nabla R\wedge \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=\partial_z R\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Esses cálculos de determinante são diretos: expandimos pela primeira linha e observamos que só um menor fica não nulo em cada caso, produzindo \partial_x P, \partial_y Q e \partial_z R.]

Passo 5

Somando os três resultados acima obtemos a forma final:
\nabla \mathcal{F}=(\partial_x P+\partial_y Q+\partial_z R)\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Note que o coeficiente escalar é exatamente a soma das derivadas parciais correspondentes.
Agora substituímos os valores numéricos já calculados no Passo 3:
\partial_x P=1,\qquad \partial_y Q=-1,\qquad \partial_z R=1.
Portanto
\partial_x P+\partial_y Q+\partial_z R=1+(-1)+1=1.
Concluímos
\nabla \mathcal{F}=1\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}=\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.

Passo 6

Agora conectamos com o divergente. Pela identificação \mathcal{F}\cong \vec{F} tomando \vec{F}=(P,Q,R), o divergente de \vec{F} é
\operatorname{div}\vec{F}=\partial_x P+\partial_y Q+\partial_z R.
Mas essa soma já apareceu no Passo 5 e deu 1. Assim
\operatorname{div}\vec{F}=1
e, em consequência,
\nabla \mathcal{F}=\operatorname{div}\vec{F}\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Pronto: mostramos explicitamente que a definição de \nabla para 2-campos devolve o divergente do vetor identificado, multiplicado pela base \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.

Resposta

\nabla \mathcal{F}=\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
\nabla \mathcal{F}=\operatorname{div}\vec{F}\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} (com \operatorname{div}\vec{F}=1).

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