Questão 5. As integrais de superfície tem aplicações semelhantes às dadas no exercício 2 . Se S representa uma superficie (por exemplo, uma folha fina ou uma placa de alumínio ou de ferro) e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto ( x, y, z ) for representada por \delta(x, y, z) então a massa total da superfície é dada por:
M=\iint_{S} \delta(x, y, z) d S
E o centro de massa será ( \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} ) onde:
\begin{aligned} \bar{x} & =\frac{1}{M} \iint_{S} x \delta(x, y, z) d S \\\ \bar{y} & =\frac{1}{M} \int_{S} y \delta(x, y, z) d S \\\ \bar{z} & =\frac{1}{M} \int_{S} z \delta(z, y, z) d S \end{aligned}
Nos próximos itens, dada a superfície e a densidade, calcule a massa e o centro de massa.
Os momentos de inércia da superfície S em relação aos eixos x, y, z, respectivamente, são:
\begin{aligned} & I_{x}=\int_{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d S \\\ & I_{y}=\int_{S}\left(x^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d S \end{aligned}
I_{z}=\int_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \delta(x, y, z) d S
Calcule os momentos de inércia das seguintes superfícies:
\varphi(u, v)=\left(u, v, u^{2}+v^{2}\right) onde u^{2}+v^{2} \leq 1 onde a densidade é homogênea.

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Calcular a massa total M da superfície parametrizada por
\varphi(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2}),
com \;u^{2}+v^{2}\le 1,
assumindo densidade homogênea (isto é, \delta(x,y,z)=\delta_{0}, constante).
  • Calcular o centro de massa (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) dessa superfície.
  • Calcular os momentos de inércia I_{x},I_{y},I_{z} da superfície, definidos por
\begin{aligned} I_{x}&=\iint_{S}\left(y^{2}+z^{2}\right)\delta(x,y,z)\,dS,\\\ I_{y}&=\iint_{S}\left(x^{2}+z^{2}\right)\delta(x,y,z)\,dS,\\\ I_{z}&=\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right)\delta(x,y,z)\,dS. \end{aligned}
Dados relevantes fornecidos:
  • Parametrização \varphi(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2}).
  • Região de parâmetro: \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\} (o disco unitário no plano uv).
  • Densidade homogênea \delta_{0} (constante).
  • Precisamos usar a fórmula de área de superfície dS=|\phi_{u}\times\phi_{v}|\,du\,dv para transformar as integrais de superfície em integrais duv.

Passo 2

Encontrar \phi_{u}, \phi_{v} e o elemento de área dS.
Cálculo das derivadas parciais:
\phi_{u}=(1,\,0,\,2u),\qquad \phi_{v}=(0,\,1,\,2v).
Produto vetorial:
\phi_{u}\times\phi_{v}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 1 & 0 & 2u \\[4pt] 0 & 1 & 2v \end{vmatrix}=(-2u,\,-2v,\,1).
Norma do produto vetorial (elemento de área):
|\phi_{u}\times\phi_{v}|=\sqrt{(-2u)^{2}+(-2v)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+4(u^{2}+v^{2})}.
Portanto
dS=|\phi_{u}\times\phi_{v}|\,du\,dv=\sqrt{1+4(u^{2}+v^{2})}\,du\,dv.
Explicação rápida (aula curtinha): o produto vetorial entre \phi_u e \phi_v dá um vetor normal à superfície; seu comprimento é a área do paralelogramo formado por \phi_u e \phi_v, então é exatamente o fator que converte du\,dv em área sobre a superfície.]

Passo 3

Passagem para coordenadas polares no plano de parâmetros (u,v) — por que? A região é o disco u^{2}+v^{2}\le 1, então polar simplifica muito.
Substituições:
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,\qquad 0\le r\le 1,\quad 0\le\theta\le 2\pi,
e
du\,dv = r\,dr\,d\theta.
Em função de r temos
u^{2}+v^{2}=r^{2},\qquad dS=\sqrt{1+4r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.
Vou usar isso em todas as integrais.

Passo 4

Cálculo da massa M.
Montamos a integral:
M=\iint_{S}\delta_{0}\,dS=\delta_{0}\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1}\sqrt{1+4(u^{2}+v^{2})}\,du\,dv.
Em polares:
M=\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{1+4r^{2}}\,r\,dr\,d\theta =\delta_{0}\,2\pi\int_{0}^{1}r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr.
Resolver a integral radial por substituição: seja t=1+4r^{2}. Então dt=8r\,dr, logo r\,dr=dt/8. Quando r=0 temos t=1, quando r=1 temos t=5. Assim
\int_{0}^{1}r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr=\int_{1}^{5}\frac{1}{8}\sqrt{t}\,dt=\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\Big[t^{3/2}\Big]_{1}^{5}=\frac{1}{12}\big(5^{3/2}-1\big).
Portanto
M=\delta_{0}\,2\pi\cdot\frac{1}{12}\big(5^{3/2}-1\big) =\delta_{0}\,\frac{\pi}{6}\big(5^{3/2}-1\big).
Interpretação: massa proporcional à densidade constante e a um fator geométrico que surge da curvatura (o \sqrt{1+4r^{2}}).

Passo 5

Cálculo de \bar{x} e \bar{y}.
Fórmulas:
\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{S} x\,\delta_{0}\,dS,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iint_{S} y\,\delta_{0}\,dS.
Mas na parametrização x=u=r\cos\theta e y=v=r\sin\theta. Então, por simetria do disco e da função \sqrt{1+4r^{2}} (dependente apenas de r), os termos angulares com \cos\theta e \sin\theta se anulam ao integrar \theta de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0.
Logo
\bar{x}=\bar{y}=0.
Comentário encorajador: é comum — quando a densidade e a forma são simétricas em torno da origem — o centro de massa ter x e y nulos. Você pode sempre checar integrando explicitamente o termo \cos\theta ou \sin\theta.

Passo 6

Cálculo de \bar{z}.
Fórmula:
\bar{z}=\frac{1}{M}\iint_{S} z\,\delta_{0}\,dS,
e na parametrização z=u^{2}+v^{2}=r^{2}. Assim
\iint_{S} z\,\delta_{0}\,dS =\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\,r\,dr\,d\theta =\delta_{0}\,2\pi\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr.
Precisamos calcular
I=\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr.
Usamos a mesma substituição t=1+4r^{2}, dt=8r\,dr, e escrevemos r^{2}=(t-1)/4. Então
r^{3}\,dr=r^{2}(r\,dr)=\frac{t-1}{4}\cdot\frac{dt}{8}=\frac{t-1}{32}\,dt.
Portanto
I=\int_{1}^{5}\frac{t-1}{32}\,t^{1/2}\,dt=\frac{1}{32}\int_{1}^{5}\big(t^{3/2}-t^{1/2}\big)\,dt.
Integrando:
I=\frac{1}{32}\Big[\frac{2}{5}t^{5/2}-\frac{2}{3}t^{3/2}\Big]_{1}^{5} =\frac{1}{80}\,5^{5/2}-\frac{1}{48}\,5^{3/2}-\Big(\frac{1}{80}-\frac{1}{48}\Big).
Fazendo as contas (simplificando com denominador comum) chega-se ao resultado compacto
I=\frac{5^{5/2}+1}{120}.
(Detalhe algébrico: a combinação dos termos leva exatamente a essa forma; se quiser eu mostro essa simplificação passo a passo.)
Assim o numerador da \bar{z} é
\delta_{0}\,2\pi\,I=\delta_{0}\,2\pi\cdot\frac{5^{5/2}+1}{120}=\delta_{0}\,\frac{\pi}{60}\big(5^{5/2}+1\big).
Dividindo pelo M=\delta_{0}\frac{\pi}{6}(5^{3/2}-1) (veja o Passo 4) obtemos
\bar{z}=\frac{\delta_{0}\,\frac{\pi}{60}\big(5^{5/2}+1\big)}{\delta_{0}\,\frac{\pi}{6}\big(5^{3/2}-1\big)} =\frac{\frac{1}{60}\big(5^{5/2}+1\big)}{\frac{1}{6}\big(5^{3/2}-1\big)} =\frac{5^{5/2}+1}{10\big(5^{3/2}-1\big)}.
Podemos escrever usando raízes:
5^{3/2}=5\sqrt{5},\qquad 5^{5/2}=25\sqrt{5},
portanto também é possível expressar \bar{z} como
\bar{z}=\frac{25\sqrt{5}+1}{50\sqrt{5}-10},
mas a forma em potências fracionárias está mais compacta.

Passo 7

Cálculo de I_{z}.
Por definição
I_{z}=\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\delta_{0}\,dS =\delta_{0}\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} (u^{2}+v^{2})\sqrt{1+4(u^{2}+v^{2})}\,du\,dv.
Em polares:
I_{z}=\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\,r\,dr\,d\theta =\delta_{0}\,2\pi\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr.
Mas já calculámos essa integral no Passo 6: \displaystyle\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr=\frac{5^{5/2}+1}{120}. Logo
I_{z}=\delta_{0}\,2\pi\cdot\frac{5^{5/2}+1}{120}=\delta_{0}\,\frac{\pi}{60}\big(5^{5/2}+1\big).

Passo 8

Cálculo de I_{x} e I_{y} (são iguais por simetria).
Definição:
I_{x}=\iint_{S}\big(y^{2}+z^{2}\big)\delta_{0}\,dS,\qquad I_{y}=\iint_{S}\big(x^{2}+z^{2}\big)\delta_{0}\,dS.
Na parametrização x=u=r\cos\theta, y=v=r\sin\theta, z=r^{2}. Usando polares:
I_{x}=\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\big(r^{2}\sin^{2}\theta + r^{4}\big)\sqrt{1+4r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.
Separe a integral angular:
I_{x}=\delta_{0}\Big(\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\Big)\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr +\delta_{0}\Big(\int_{0}^{2\pi} d\theta\Big)\int_{0}^{1} r^{5}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr.
Sabendo \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi e \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, escrevemos
I_{x}=\delta_{0}\,\pi\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr +\delta_{0}\,2\pi\int_{0}^{1} r^{5}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr.
Chamemos
A=\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr=\frac{5^{5/2}+1}{120}
(já calculado) e
B=\int_{0}^{1} r^{5}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr.
Vamos calcular B. Use novamente t=1+4r^{2}, dt=8r\,dr. Observando r^{5}\,dr=r^{4}(r\,dr)=\big(\frac{t-1}{4}\big)^{2}\frac{dt}{8}=\frac{(t-1)^{2}}{128}\,dt. Então
B=\frac{1}{128}\int_{1}^{5}(t-1)^{2}t^{1/2}\,dt=\frac{1}{128}\int_{1}^{5}\big(t^{5/2}-2t^{3/2}+t^{1/2}\big)\,dt.
Integrando e avaliando de 1 a 5 obtemos (após simplificação algébrica)
B=\frac{25\cdot 5^{3/2}-1}{840}.
Portanto
I_{x}=\delta_{0}\,\pi\cdot A+\delta_{0}\,2\pi\cdot B =\delta_{0}\,\pi\left(A+2B\right).
Substituindo A e B e simplificando (fatorando termos) chegamos a
A+2B=\frac{10\cdot 5^{3/2}+1}{140}.
Logo
I_{x}=I_{y}=\delta_{0}\,\pi\cdot\frac{10\cdot 5^{3/2}+1}{140}.
(Se preferir, pode reescrever 5^{3/2}=5\sqrt{5}.)

Passo 9

Resumo das expressões finais (formas compactas úteis para consulta rápida):
  • Massa:
M=\delta_{0}\,\frac{\pi}{6}\big(5^{3/2}-1\big).
  • Centro de massa:
\bar{x}=0,\qquad \bar{y}=0,\qquad \bar{z}=\frac{5^{5/2}+1}{10\big(5^{3/2}-1\big)}.
  • Momentos de inércia:
I_{x}=I_{y}=\delta_{0}\,\pi\,\frac{10\cdot 5^{3/2}+1}{140}, \qquad I_{z}=\delta_{0}\,\pi\,\frac{5^{5/2}+1}{60}.

Resposta

M=\delta_{0}\,\dfrac{\pi}{6}\big(5^{3/2}-1\big)
\bar{x}=0
\bar{y}=0
\bar{z}=\dfrac{5^{5/2}+1}{10\big(5^{3/2}-1\big)}
I_{x}=I_{y}=\delta_{0}\,\pi\,\dfrac{10\cdot 5^{3/2}+1}{140}
I_{z}=\delta_{0}\,\pi\,\dfrac{5^{5/2}+1}{60}

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