Questão 5. As integrais de superfície tem aplicações semelhantes às dadas no exercício 2 . Se S representa uma superficie (por exemplo, uma folha fina ou uma placa de alumínio ou de ferro) e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto ( x, y, z ) for representada por \delta(x, y, z) então a massa total da superfície é dada por:
M=\iint_{S} \delta(x, y, z) d S
E o centro de massa será ( \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} ) onde:
\begin{aligned} \bar{x} & =\frac{1}{M} \iint_{S} x \delta(x, y, z) d S \\\ \bar{y} & =\frac{1}{M} \int_{S} y \delta(x, y, z) d S \\\ \bar{z} & =\frac{1}{M} \int_{S} z \delta(z, y, z) d S \end{aligned}
Nos próximos itens, dada a superfície e a densidade, calcule a massa e o centro de massa.
Os momentos de inércia da superfície S em relação aos eixos x, y, z, respectivamente, são:
\begin{aligned} & I_{x}=\int_{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d S \\\ & I_{y}=\int_{S}\left(x^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d S \end{aligned}
I_{z}=\int_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \delta(x, y, z) d S
Calcule os momentos de inércia das seguintes superfícies: \varphi(u, v)=\left(u, v, u^{2}+v^{2}\right) onde u^{2}+v^{2} \leq 1 onde a densidade é homogênea.
Passo 1
O que o exercício pede:
Calcular a massa total M da superfície parametrizada por
\varphi(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2}),
com \;u^{2}+v^{2}\le 1,
assumindo densidade homogênea (isto é, \delta(x,y,z)=\delta_{0}, constante).
Calcular o centro de massa (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) dessa superfície.
Calcular os momentos de inércia I_{x},I_{y},I_{z} da superfície, definidos por
Explicação rápida (aula curtinha): o produto vetorial entre \phi_u e \phi_v dá um vetor normal à superfície; seu comprimento é a área do paralelogramo formado por \phi_u e \phi_v, então é exatamente o fator que converte du\,dv em área sobre a superfície.]
Passo 3
Passagem para coordenadas polares no plano de parâmetros (u,v) — por que? A região é o disco u^{2}+v^{2}\le 1, então polar simplifica muito.
Mas na parametrização x=u=r\cos\theta e y=v=r\sin\theta. Então, por simetria do disco e da função \sqrt{1+4r^{2}} (dependente apenas de r), os termos angulares com \cos\theta e \sin\theta se anulam ao integrar \theta de 0 a 2\pi:
Comentário encorajador: é comum — quando a densidade e a forma são simétricas em torno da origem — o centro de massa ter x e y nulos. Você pode sempre checar integrando explicitamente o termo \cos\theta ou \sin\theta.
Vamos calcular B. Use novamente t=1+4r^{2}, dt=8r\,dr. Observando r^{5}\,dr=r^{4}(r\,dr)=\big(\frac{t-1}{4}\big)^{2}\frac{dt}{8}=\frac{(t-1)^{2}}{128}\,dt. Então