Questão 1. Em cada um dos casos mostre que y1 é solução da equação diferencial e encontre uma segunda solução y2 linearmente independente da primeira:
t^2 y^prime prime-t(t+2) y^prime+(t+2) y=0, y1(t)=t

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis
t^2y''-t(t+2)y'+(t+2)y=0
e a solução conhecida y1(t)=t. O conteúdo é método de verificação de solução e redução de ordem para achar uma segunda solução independente.

Passo 2

Verificação de y1(t)=t: calculamos
y1'(t)=1, y1''(t)=0
Substituindo na equação original:
LHS=t^2 imes0 - t(t+2) imes1 + (t+2) imes t = -t^2-2t + t^2+2t = 0,
logo y1(t)=t satisfaz a equação.

Passo 3

Transformação para a forma padrão: dividindo por t^2 (para tneq0):
y'' + p(t)y' + q(t)y = 0,
onde
p(t)=-t+2t=-1-2t,
q(t)=t+2t^2=1t+2t^2

Passo 4

Aplicação da redução de ordem: usamos
y2(t)=y1(t)integral e^-integral p(t),dty1(t)^2,dt
Calculando
integral p(t),dt = integrall(-1-2tr)dt=-t-2ln t,
e^-integral p(t)dt=e^t+2ln t=e^tt^2
Então dentro da integral fica
e^tt^2t^2=e^t,
e
integral e^tdt=e^t
Logo
y2(t)=tcdot e^t

Passo 5

Independência linear: o wronskiano de y1,y2 é
W(t)=t & te^t1 & (t+1)e^t=t(t+1)e^t-te^t=t e^tneq0 (tneq0),
então y2(t)=te^t é linearmente independente de y1(t).

Resposta

y2(t)=te^t

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