Questão(3. (2,0) Considere uma urna com 5 bolas brancas e 3 vermelhas. Quatro bolas são selecionadas desta urna, ao acaso e todas de uma vez. Qual a probabilidade de haver pelo menos 3 bolas brancas nesta amostra?
V
Passo 1
O enunciado diz: há uma urna com
bolas brancas e
bolas vermelhas. Selecionam-se
bolas ao acaso, todas de uma vez (ou seja, sem reposição). Pergunta-se: qual a probabilidade de haver pelo menos
bolas brancas na amostra?
Informações importantes dadas: brancas,
vermelhas, amostra de tamanho
. O evento “pelo menos
brancas” significa “exatamente
brancas” ou “exatamente
brancas”.
Informações importantes dadas:
Passo 2
Estratégia de contagem (ideia usada na prova): contamos o número total de amostras possíveis de
bolas e o número de amostras favoráveis (com
ou
brancas). A probabilidade é
Para contar conjuntos sem ordem (tiramos todas de uma vez), usamos combinações. A combinação
é o número de formas de escolher
objetos entre
sem importar a ordem. A fórmula é
onde
(fatorial) significa
. Exemplo:
.
Passo 3
Calculamos o número total de amostras possíveis: escolher
bolas dentre
(5 brancas + 3 vermelhas):
Então há
amostras igualmente prováveis.
Passo 4
Contamos amostras com exatamente
brancas: escolhemos
das
brancas e
das
vermelhas. Pelo princípio multiplicativo,
Calculemos:
logo
Passo 5
Contamos amostras com exatamente
brancas: escolhemos
das
brancas e
das
vermelhas:
Calculemos:
logo
Passo 6
Número total de amostras favoráveis (pelo menos
brancas) é a soma dos casos
e
:
Portanto a probabilidade pedida é
Convertendo para decimal temos
.
Passo 7
Dica rápida para prova: esta é uma aplicação direta da distribuição hipergeométrica; a fórmula geral é
onde
é o total de itens,
o número de “sucessos” na população,
o tamanho da amostra e
o número de sucessos na amostra. Aqui
,
,
e somamos os casos
e
. Usar combinações assim é rápido e seguro na prova. Você mandou bem de chegar até aqui — respira e confia que consegue aplicar esse raciocínio em outras questões parecidas!