Questão(3. (2,0) Considere uma urna com 5 bolas brancas e 3 vermelhas. Quatro bolas são selecionadas desta urna, ao acaso e todas de uma vez. Qual a probabilidade de haver pelo menos 3 bolas brancas nesta amostra? \vee 123 \vee 132 \vee 213 \vee 231 V 312 \vee 321
\binom{4}{2}=\frac{4 \cdot 3}{2!2!}=

Passo 1

O enunciado diz: há uma urna com \,5 bolas brancas e \,3 bolas vermelhas. Selecionam-se \,4 bolas ao acaso, todas de uma vez (ou seja, sem reposição). Pergunta-se: qual a probabilidade de haver pelo menos \,3 bolas brancas na amostra?
Informações importantes dadas: \,5 brancas, \,3 vermelhas, amostra de tamanho \,4. O evento “pelo menos \,3 brancas” significa “exatamente \,3 brancas” ou “exatamente \,4 brancas”.

Passo 2

Estratégia de contagem (ideia usada na prova): contamos o número total de amostras possíveis de \,4 bolas e o número de amostras favoráveis (com \,3 ou \,4 brancas). A probabilidade é
\text{Probabilidade} = \frac{\text{nº de amostras favoráveis}}{\text{nº total de amostras}}.ºáº
Para contar conjuntos sem ordem (tiramos todas de uma vez), usamos combinações. A combinação \binom{n}{k} é o número de formas de escolher k objetos entre n sem importar a ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Exemplo: 5!=120.

Passo 3

Calculamos o número total de amostras possíveis: escolher \,4 bolas dentre \,8 (5 brancas + 3 vermelhas):
\binom{8}{4}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=70.
Então há \,70 amostras igualmente prováveis.

Passo 4

Contamos amostras com exatamente \,3 brancas: escolhemos \,3 das \,5 brancas e \,1 das \,3 vermelhas. Pelo princípio multiplicativo,
\text{nº (exatamente 3 brancas)}=\binom{5}{3}\cdot\binom{3}{1}.º
Calculemos:
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10,\qquad \binom{3}{1}=3,
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\binom{5}{3}\cdot\binom{3}{1}=10\cdot3=30.

Passo 5

Contamos amostras com exatamente \,4 brancas: escolhemos \,4 das \,5 brancas e \,0 das \,3 vermelhas:
\text{nº (exatamente 4 brancas)}=\binom{5}{4}\cdot\binom{3}{0}.º
Calculemos:
\binom{5}{4}=5,\qquad \binom{3}{0}=1,
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\binom{5}{4}\cdot\binom{3}{0}=5\cdot1=5.

Passo 6

Número total de amostras favoráveis (pelo menos \,3 brancas) é a soma dos casos \,3 e \,4:
\text{favoráveis}=30+5=35.á
Portanto a probabilidade pedida é
\frac{35}{70}=\frac{1}{2}.
Convertendo para decimal temos \,0,5.

Passo 7

Dica rápida para prova: esta é uma aplicação direta da distribuição hipergeométrica; a fórmula geral é
\Pr(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},
onde N é o total de itens, K o número de “sucessos” na população, n o tamanho da amostra e k o número de sucessos na amostra. Aqui N=8, K=5, n=4 e somamos os casos k=3 e k=4. Usar combinações assim é rápido e seguro na prova. Você mandou bem de chegar até aqui — respira e confia que consegue aplicar esse raciocínio em outras questões parecidas!

Resposta

\dfrac{1}{2}=0,5

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