Questão (2): Para cada função abaixo determine os intervalos abertos em que a função é crescente e decrescente, identifique os extremos relativos e esboce o gráfico de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos essa questão! O exercício pede para a gente analisar a função $ f(x) = -x^{2} - 3x + 3 $. Vamos precisar usar conceitos de derivadas para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, encontrar seus extremos relativos (máximos ou mínimos) e, por fim, esboçar o gráfico dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função estar crescente ou decrescente. Uma função é crescente em um intervalo se, ao aumentarmos o valor de $ x $, o valor de $ f(x) $ também aumenta. O contrário vale para função decrescente. Para descobrir isso, usamos a derivada da função.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função muda conforme $ x $ muda.
A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Resolvendo para $ x $:
Passo 5
Com o valor de $ x = -\frac{3}{2} $, vamos determinar se a função está crescendo ou decrescendo nos intervalos à esquerda e à direita desse ponto.
- Para $ x < -\frac{3}{2} $, vamos escolher $ x = -2 $:
Como $ f’(-2) > 0 $, a função está crescente nesse intervalo.
- Para $ x > -\frac{3}{2} $, vamos escolher $ x = 0 $:
Como $ f’(0) < 0 $, a função está decrescendo nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos identificar o extremo relativo. Como a função muda de crescente para decrescente no ponto $ x = -\frac{3}{2} $, esse ponto é um máximo relativo.
Para encontrar o valor do máximo, substituímos $ x = -\frac{3}{2} $ na função original:
Para encontrar o valor do máximo, substituímos $ x = -\frac{3}{2} $ na função original:
Então, o máximo relativo é $ \left(-\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) $.
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x) = -x^{2} - 3x + 3 $. Sabemos que é uma parábola com concavidade para baixo (porque o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo). O vértice da parábola é o ponto máximo que encontramos: $ \left(-\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) $. Além disso, podemos encontrar as interseções com os eixos:
-
Interseção com o eixo $ y $: Quando $ x = 0 $,
Então, o ponto é $ (0, 3) $. -
Interseção com o eixo $ x $: Resolvendo $ f(x) = 0 $,
Multiplicando por -1:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as interseções são $ \left(\frac{-3 + \sqrt{21}}{2}, 0\right) $ e $ \left(\frac{-3 - \sqrt{21}}{2}, 0\right) $.
Resposta
A função $ f(x) = -x^{2} - 3x + 3 $ é crescente no intervalo $ \left(-\infty, -\frac{3}{2}\right) $ e decrescente no intervalo $ \left(-\frac{3}{2}, +\infty\right) $. Ela possui um máximo relativo no ponto $ \left(-\frac{3}{2}, \frac{21}{4}\right) $. O gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, passando pelos pontos $ (0, 3) $ e $ \left(\frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}, 0\right) $.