Questão (1): Digamos se é verdadeiro ou falso e justifique sua resposta.
Suponha que f(0)=5 e que f^prime(x)=2 para todo x. Então f(x)=2x+6 para todo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. O enunciado é sobre funções e derivadas, então vamos usar um pouquinho de cálculo. Precisaremos entender o que é a derivada e como encontrar a função original a partir dela.

Passo 2

Primeiro, sabemos que $ f’(x) = 2 $. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. Se a derivada é constante, significa que a função original é uma reta.

Passo 3

Para encontrar a função $ f(x) $ a partir de $ f’(x) $, precisamos fazer a antiderivada. A antiderivada de $ 2 $ em relação a $ x $ é $ 2x + C $, onde $ C $ é uma constante.
f(x)

Passo 4

Agora, usamos a informação que $ f(0) = 5 $ para descobrir o valor de $ C $. Substituindo $ x = 0 $ na função:
f(0) = 5

Passo 5

Com $ C = 5 $, nossa função fica:
C = 5

Passo 6

A afirmação do exercício diz que $ f(x) = 2x + 6 $. Comparando com o que encontramos, a constante é 5 e não 6. Portanto, a afirmação está errada.

Resposta

Falso. A função correta é $ f(x) = 2x + 5 $.

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