Questão (2): Para cada função abaixo determine os intervalos abertos em que a função é crescente e decrescente, identifique os extremos relativos e esboce o gráfico de f.
f(x)=x cdot ln x;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a monotonicidade de f(x)=x\ln x, encontrar extremos relativos e esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas e análise de sinais para isso.

Passo 2

Primeiro, notamos que a função envolve ln x, então o domínio natural é x>0.

Passo 3

Para ver onde f cresce ou decresce, calculamos a derivada usando produto:
f(x)=xln ximplies f'(x)=1cdotln x + xcdot1x=ln x +1

Passo 4

A condição de ponto crítico vem de f'(x)=0, ou seja,
ln x +1=0implies ln x=-1implies x=e^-1

Passo 5

Para decidir o sinal de f'(x), avaliamos ln x+1:
  • Se 0, então ln x e ln x+1<0, logo f é decrescente.
  • Se x>e^-1, então ln x>-1 e ln x+1>0, logo f é crescente.

Passo 6

Como a derivada troca de negativa para positiva em x=e^-1, temos um mínimo relativo nesse ponto. O valor é
f(e^-1)=e^-1ln(e^-1)=e^-1(-1)=-e^-1

Passo 7

Para esboçar o gráfico:
  • Em xto0^+, xln xto0 (pois xln x=ln x/(1/x) e tende a 0).
  • Cai até o ponto (e^-1,-e^-1),
  • Depois cresce e vai a +infty quando xto+infty.
    Isso completa o esboço.

Passo 8

Resposta

f é decrescente em (0,e^-1) e crescente em (e^-1,+infty); possui mínimo relativo em x=e^-1 com f( e^{-1} )=-e^{-1}.

Exercícios relacionados