Questão (2): Para cada função abaixo determine os intervalos abertos em que a função é crescente e decrescente, identifique os extremos relativos e esboce o gráfico de
.
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a monotonicidade de f(x)=x\ln x, encontrar extremos relativos e esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas e análise de sinais para isso.
Passo 2
Primeiro, notamos que a função envolve
, então o domínio natural é
.
Passo 3
Para ver onde f cresce ou decresce, calculamos a derivada usando produto:
Passo 4
A condição de ponto crítico vem de
, ou seja,
Passo 5
Para decidir o sinal de
, avaliamos
:
- Se
, então e , logo f é decrescente. - Se
, então e , logo f é crescente.
Passo 6
Como a derivada troca de negativa para positiva em
, temos um mínimo relativo nesse ponto. O valor é
Passo 7
Para esboçar o gráfico:
- Em
, (pois e tende a 0). - Cai até o ponto
, - Depois cresce e vai a
quando .
Isso completa o esboço.
Passo 8
Resposta
f é decrescente em
e crescente em
; possui mínimo relativo em
com f( e^{-1} )=-e^{-1}.