Questão (3): Esboce o gráfico de uma função derivável y=f(x) que tenha:
um máximo local em (1,1) e um mínimo local em (3,3);

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe (esboce) o gráfico de uma função derivável y=f(x) que tenha um máximo local em (1,1) e um mínimo local em (3,3). O conteúdo aqui é análise de máximos e mínimos locais usando derivadas: vamos precisar que f
'(1)=0 com f
‘’(1)<0 e f
'(3)=0 com f
‘’(3)>0.

Passo 2

Para garantir esses pontos críticos, impomos as condições em uma função polinomial genérica de grau 3: seja f(x)=ax3+bx2+cx+d. As equações a satisfazer são:
f(1)=a+b+c+d=1,
f'(1)=3a+2b+c=0,
f(3)=27a+9b+3c+d=3,
f'(3)=27a+6b+c=0

Passo 3

Resolvendo esse sistema encontramos a=-\tfrac12, b=3, c=-\tfrac92, d=3. Logo
f(x)=-tfrac12x^3+3x^2-tfrac92x+3
Com essa escolha, de fato f
'(1)=0 e f
‘’(1)=-3<0, garantindo máximo em (1,1), e f
'(3)=0 com f
‘’(3)=3>0, garantindo mínimo em (3,3).

Passo 4

Para esboçar o gráfico, basta notar o comportamento de f: crescentemente até x=1, depois decresce até x=3 e em seguida volta a crescer. O valor em (1,1) é um pico e em (3,3) um vale.

Resposta

Uma possível função que satisfaz é f(x)=-tfrac12x^3+3x^2-tfrac92x+3. Seu esboço qualitativo cresce até (1,1), decresce até (3,3) e depois cresce novamente.

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