Questão (3): Esboce o gráfico de uma função derivável
que tenha:
um máximo local em
e um mínimo local em
;
um máximo local em
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe (esboce) o gráfico de uma função derivável y=f(x) que tenha um máximo local em (1,1) e um mínimo local em (3,3). O conteúdo aqui é análise de máximos e mínimos locais usando derivadas: vamos precisar que f
'(1)=0 com f
‘’(1)<0 e f
'(3)=0 com f
‘’(3)>0.
'(1)=0 com f
‘’(1)<0 e f
'(3)=0 com f
‘’(3)>0.
Passo 2
Para garantir esses pontos críticos, impomos as condições em uma função polinomial genérica de grau 3: seja f(x)=ax3+bx2+cx+d. As equações a satisfazer são:
Passo 3
Resolvendo esse sistema encontramos a=-\tfrac12, b=3, c=-\tfrac92, d=3. Logo
Com essa escolha, de fato f
'(1)=0 e f
‘’(1)=-3<0, garantindo máximo em (1,1), e f
'(3)=0 com f
‘’(3)=3>0, garantindo mínimo em (3,3).
Passo 4
Para esboçar o gráfico, basta notar o comportamento de f: crescentemente até x=1, depois decresce até x=3 e em seguida volta a crescer. O valor em (1,1) é um pico e em (3,3) um vale.
Resposta
Uma possível função que satisfaz é
. Seu esboço qualitativo cresce até (1,1), decresce até (3,3) e depois cresce novamente.