Questão (3): Esboce o gráfico de uma função derivável
que tenha:
mínimos locais em
e
;
mínimos locais em
Passo 1
O enunciado pede o esboço de uma função derivável f cuja curva tenha dois mínimos locais em (1,1) e (3,3). Para isso precisamos usar condições de derivada: em cada mínimo local f′(x₀)=0 e f″(x₀)>0.
Passo 2
Em torno de um mínimo local x₀, a derivada muda de negativa para positiva. Logo, para x<1 devemos ter f′<0 (função decresce até (1,1)), e para 1<x<ξ, onde ξ é o ponto do máximo interno, f′>0.
Passo 3
Como há dois vales, obrigatoriamente existe um máximo local em algum ξ∈(1,3). A sequência de monotonicidade fica: decresce até x=1, cresce até ξ, decresce até x=3, e cresce depois de 3.
Passo 4
No esboço, marcamos o ponto (1,1) como um vale (f′(1)=0, f″(1)>0), depois uma crista em ξ∈(1,3), em seguida outro vale em (3,3) (f′(3)=0, f″(3)>0), e por fim a curva sobe para x>3.
Resposta
Um esboço qualitativo: a curva desce até (1,1), forma um vale, sobe até um pico entre 1 e 3, desce de novo até (3,3) formando outro vale, e finalmente volta a subir para x>3. A curva é suave (derivável) e nos pontos (1,1) e (3,3) a tangente é horizontal.