Questão 3) Para cada função a seguir, encontre a derivada:
f(x)=\left(3 x+\frac{1}{x}\right) \cdot(6 x-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função e pede a derivada:
f(x)=\left(3x+\frac{1}{x}\right)\cdot(6x-1).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida para x\neq0 (pois aparece \tfrac{1}{x}).
  • O que se pede: encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Escolha do método: aqui é mais simples e direto expandir o produto primeiro e depois derivar termo a termo. Isso evita lembrar a fórmula do produto na pressão da prova e transforma tudo em potências de x, que são fáceis de derivar. (Observação: também dá para usar a regra do produto; no final mostro rapidamente a equivalência.)

Passo 3

Expandir o produto multiplicando cada termo:
(3x)\cdot(6x)=18x^{2},
(3x)\cdot(-1)=-3x,
\left(\frac{1}{x}\right)\cdot(6x)=6\quad\text{(pois \(x\) cancela)},
\left(\frac{1}{x}\right)\cdot(-1)=-\frac{1}{x}.
Somando tudo,
f(x)=18x^{2}-3x+6-\frac{1}{x}.

Passo 4

Reescrever o termo fracionário como potência para aplicar a regra do poder:
-\frac{1}{x}=-x^{-1},
portanto
f(x)=18x^{2}-3x+6-x^{-1}.

Passo 5

Lembrete das regras que vamos usar (explicando como se estivesse na prova):
  • Regra do poder: para qualquer n\in\mathbb{R},
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Isto significa, por exemplo, que \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e \dfrac{d}{dx}(x^{-1})=-1\cdot x^{-2}.
  • Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes multiplicativas saem da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot g(x)+b\cdot h(x)\bigr)=a\cdot g'(x)+b\cdot h'(x).
  • A derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dx}\text{(C)}=0.

Passo 6

Aplicar as regras termo a termo:
  • Derivada de 18x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(18x^{2}\bigr)=18\cdot 2x=36x.
  • Derivada de -3x:
\frac{d}{dx}\bigl(-3x\bigr)=-3.
  • Derivada de 6:
\frac{d}{dx}(6)=0.
  • Derivada de -x^{-1}:
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-1}\bigr)=-\bigl(-1\bigr)x^{-2}=x^{-2}.
Somando os resultados,
f'(x)=36x-3+x^{-2}.

Passo 7

Voltar para a forma com fração para ficar mais familiar na resposta final:
x^{-2}=\frac{1}{x^{2}},
logo
f'(x)=36x-3+\frac{1}{x^{2}}.

Passo 8

Verificação opcional (rápida) usando a regra do produto para ver que dá o mesmo:
  • Seja u(x)=3x+\frac{1}{x} e v(x)=6x-1.
  • Então u'(x)=3-\frac{1}{x^{2}} e v'(x)=6.
  • Pela regra do produto,
f'(x)=u'v+uv'=\left(3-\frac{1}{x^{2}}\right)(6x-1)+\left(3x+\frac{1}{x}\right)6.
Ao desenvolver e simplificar essa expressão obtém-se novamente 36x-3+\dfrac{1}{x^{2}}, confirmando o resultado.

Resposta

f'(x)=36x-3+\frac{1}{x^{2}}

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