Questão 3) Para cada função a seguir, encontre a derivada:
Passo 1
O enunciado nos dá a função e pede a derivada:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função está definida para
(pois aparece ). - O que se pede: encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Escolha do método: aqui é mais simples e direto expandir o produto primeiro e depois derivar termo a termo. Isso evita lembrar a fórmula do produto na pressão da prova e transforma tudo em potências de
, que são fáceis de derivar. (Observação: também dá para usar a regra do produto; no final mostro rapidamente a equivalência.)
Passo 3
Expandir o produto multiplicando cada termo:
Somando tudo,
Passo 4
Reescrever o termo fracionário como potência para aplicar a regra do poder:
portanto
Passo 5
Lembrete das regras que vamos usar (explicando como se estivesse na prova):
- Regra do poder: para qualquer
,
Isto significa, por exemplo, que
e
.
- Linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes multiplicativas saem da derivada:
- A derivada de uma constante é zero:
.
Passo 6
Aplicar as regras termo a termo:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Somando os resultados,
Passo 7
Voltar para a forma com fração para ficar mais familiar na resposta final:
logo
Passo 8
Verificação opcional (rápida) usando a regra do produto para ver que dá o mesmo:
- Seja
e . - Então
e . - Pela regra do produto,
Ao desenvolver e simplificar essa expressão obtém-se novamente
, confirmando o resultado.