Questão 1. Em cada item abaixo encontre o domínio, a imagem e trace o gráfico da função.
f(x)=llx^2-4 & ; x<3 2 x-1 & ; x >= 3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela muda a regra dependendo do valor de $ x $. O enunciado pede para encontrar o domínio (todos os valores de $ x $ que a função pode receber), a imagem (todos os valores que a função pode produzir) e desenhar o gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções definidas por partes e analisar cada parte separadamente.

Passo 2

Encontrando o Domínio
O domínio de uma função são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Observando o enunciado:
x
Aqui, a função está definida para $ x < 3 $ e para $ x \geq 3 $. Não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos, então:
  • Domínio: Todos os números reais, ou seja, $ x \in \mathbb{R} $.

Passo 3

Encontrando a Imagem
A imagem da função são todos os valores que $ f(x) $ pode assumir. Vamos analisar cada parte:
  1. Para $ x < 3 $: A função é $ f(x) = x^2 - 4 $, que é uma parábola voltada para cima com vértice no ponto $ (0, -4) $.
    • O valor mínimo de $ f(x) $ nessa parte é f(x) .
    • Conforme $ x $ se afasta de 0, $ f(x) $ aumenta sem limites, ou seja, tende ao infinito.
  2. Para $ x \geq 3 $: A função é $ f(x) = 2x - 1 $, que é uma reta crescente.
    • Quando $ x = 3 $, $ f(3) = 2(3) - 1 = 5 $.
    • À medida que $ x $ aumenta, $ f(x) $ também aumenta sem limites.
Juntando as duas partes:
  • O menor valor que $ f(x) $ atinge é x < 3 .
  • A partir de $ -4 $ até o infinito, todos os valores são cobertos pelas duas partes da função.
  • Imagem: $ f(x) \geq -4 $, ou seja, todos os números reais maiores ou iguais a f(x) = x^2 - 4 .

Passo 4

Traçando o Gráfico
Vamos desenhar o gráfico considerando cada parte da função:
  1. Para $ x < 3 $: $ f(x) = x^2 - 4 $
    • É uma parábola com vértice em $ (0, -4) $.
    • Como $ x $ é menor que 3, desenhamos a parábola apenas até $ x = 3 $.
    • Em $ x = 3 $, $ f(3) = 5 $. Como $ x = 3 $ não está incluído nessa parte, usamos um círculo aberto nesse ponto.
  2. Para $ x \geq 3 $: $ f(x) = 2x - 1 $
    • É uma reta que passa por $ (3, 5) $ e sobe para a direita.
    • Incluímos um círculo fechado em $ x = 3 $ porque $ x = 3 $ está incluído nessa parte.
Passos para o desenho:
  • Desenhe a parábola $ y = x^2 - 4 $ até $ x = 3 $ com um círculo aberto em $ (3, 5) $.
  • Desenhe a reta $ y = 2x - 1 $ a partir de $ x = 3 $ com um círculo fechado em $ (3, 5) $.
  • O gráfico será contínuo em $ x = 3 $ pois os dois pontos se encontram em $ (3, 5) $.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais ($ x \in \mathbb{R} $).
  • Imagem: Todos os valores maiores ou iguais a x in R ($ f(x) \geq -4 $).
  • Gráfico:
    • Uma parábola $ y = x^2 - 4 $ para $ x < 3 $.
    • Uma reta $ y = 2x - 1 $ para $ x \geq 3 $.
    • O ponto de conexão em $ x = 3 $ é $ (3, 5) $, demonstrando continuidade na função.

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