Questão 1. Em cada item abaixo encontre o domínio, a imagem e trace o gráfico da função.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela muda a regra dependendo do valor de $ x $. O enunciado pede para encontrar o domínio (todos os valores de $ x $ que a função pode receber), a imagem (todos os valores que a função pode produzir) e desenhar o gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções definidas por partes e analisar cada parte separadamente.
Passo 2
Encontrando o Domínio
O domínio de uma função são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Observando o enunciado:
Aqui, a função está definida para $ x < 3 $ e para $ x \geq 3 $. Não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos, então:
- Domínio: Todos os números reais, ou seja, $ x \in \mathbb{R} $.
Passo 3
Encontrando a Imagem
A imagem da função são todos os valores que $ f(x) $ pode assumir. Vamos analisar cada parte:
-
Para $ x < 3 $: A função é $ f(x) = x^2 - 4 $, que é uma parábola voltada para cima com vértice no ponto $ (0, -4) $.
- O valor mínimo de $ f(x) $ nessa parte é
. - Conforme $ x $ se afasta de 0, $ f(x) $ aumenta sem limites, ou seja, tende ao infinito.
- O valor mínimo de $ f(x) $ nessa parte é
-
Para $ x \geq 3 $: A função é $ f(x) = 2x - 1 $, que é uma reta crescente.
- Quando $ x = 3 $, $ f(3) = 2(3) - 1 = 5 $.
- À medida que $ x $ aumenta, $ f(x) $ também aumenta sem limites.
Juntando as duas partes:
-
O menor valor que $ f(x) $ atinge é
. -
A partir de $ -4 $ até o infinito, todos os valores são cobertos pelas duas partes da função.
-
Imagem: $ f(x) \geq -4 $, ou seja, todos os números reais maiores ou iguais a
.
Passo 4
Traçando o Gráfico
Vamos desenhar o gráfico considerando cada parte da função:
-
Para $ x < 3 $: $ f(x) = x^2 - 4 $
- É uma parábola com vértice em $ (0, -4) $.
- Como $ x $ é menor que 3, desenhamos a parábola apenas até $ x = 3 $.
- Em $ x = 3 $, $ f(3) = 5 $. Como $ x = 3 $ não está incluído nessa parte, usamos um círculo aberto nesse ponto.
-
Para $ x \geq 3 $: $ f(x) = 2x - 1 $
- É uma reta que passa por $ (3, 5) $ e sobe para a direita.
- Incluímos um círculo fechado em $ x = 3 $ porque $ x = 3 $ está incluído nessa parte.
Passos para o desenho:
- Desenhe a parábola $ y = x^2 - 4 $ até $ x = 3 $ com um círculo aberto em $ (3, 5) $.
- Desenhe a reta $ y = 2x - 1 $ a partir de $ x = 3 $ com um círculo fechado em $ (3, 5) $.
- O gráfico será contínuo em $ x = 3 $ pois os dois pontos se encontram em $ (3, 5) $.
Resposta
- Domínio: Todos os números reais ($ x \in \mathbb{R} $).
- Imagem: Todos os valores maiores ou iguais a
($ f(x) \geq -4 $). - Gráfico:
- Uma parábola $ y = x^2 - 4 $ para $ x < 3 $.
- Uma reta $ y = 2x - 1 $ para $ x \geq 3 $.
- O ponto de conexão em $ x = 3 $ é $ (3, 5) $, demonstrando continuidade na função.