Utilizando as propriedades operatórias e as regras de derivação, calcule as derivadas das função abaixo:
f(x)=log e(a+xa-x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=lnl(a+xa-xr). O conteúdo aqui envolve propriedades de logaritmo e a regra da derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Uma propriedade importante é que o logaritmo de um quociente vira diferença de logaritmos. Ou seja, podemos reescrever
f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)

Passo 3

A partir daí, usamos a regra padrão: se g(x)=ln(u(x)), então g'(x)=u'(x)u(x). Vamos derivar cada termo separadamente. Derivando ln(a+x) obtemos
ddxln(a+x)=1a+x
e derivando -ln(a-x) obtemos
ddxl(-ln(a-x)r)=--1a-x=1a-x

Passo 4

Somando as duas parcelas, ficamos com
f'(x)=1a+x+1a-x=(a-x)+(a+x)(a+x)(a-x)
E simplificando o numerador e o denominador:
f'(x)=2aa^2-x^2

Resposta

f'(x)=2aa^2-x^2

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