Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a soluçâo geral da equaçâo diferencial dada.
8 y^prime+y=3 sen 2 t+t cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y = 3sin(2t) + tcos(2t)
O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão e calculamos o fator integrante
y' + 1cdot y = f(t),
onde f(t)=3sin(2t)+tcos(2t). O fator integrante é
mu(t)=e^integral 1,dt=e^t

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por e^t. O lado esquerdo vira derivada do produto e o direito fica:
ddtl(e^t yr)=e^tl(3sin(2t)+tcos(2t)r)

Passo 4

Integramos em relação a t:
e^t y=integral e^t(3sin2t),dt+integral e^t(tcos2t),dt + C
Para o primeiro integral, usamos a fórmula
integral e^atsin(bt),dt=e^at(asin(bt)-bcos(bt))a^2+b^2
Com a=1,b=2:
integral e^tsin2t,dt=e^t(sin2t-2cos2t)5,
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integral 3e^tsin2t,dt=3e^t(sin2t-2cos2t)5

Passo 5

Para o segundo integral integral e^t(tcos2t),dt fazemos partes: seja u=t, dv=e^tcos2t,dt. Então
dvmapsto v=integral e^tcos2t,dt=e^t(cos2t+2sin2t)5,
e
du=dt
Assim
integral t e^tcos2t,dt=te^t(cos2t+2sin2t)5-integral e^t(cos2t+2sin2t)5,dt
Integramos o restante de forma análoga (usando as mesmas fórmulas) e obtemos
integral e^t(tcos2t),dt=e^tt(cos2t+2sin2t)+tfrac15(3cos2t-4sin2t)5

Passo 6

Somando os dois resultados e recolocando em e^t y, achamos
e^t y=e^t5t(cos2t+2sin2t)+11sin2t-27cos2t25+C
Dividindo por e^t vem a solução geral

Passo 7

O resultado simplificado é
y(t)=C e^-t+5t-2725cos2t+10t+1125sin2t

Resposta

y(t)=C e^{-t}+\frac{5t-27}{25}\cos(2t)+\frac{10t+11}{25}\sin(2t)

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