Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial
dada.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede: aplicar 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação
usando a aproximação inicial
.
Informações dadas:
- Equação:
. - Aproximação inicial:
. - Deve-se executar exatamente 4 iterações de Newton e apresentar os valores resultantes.
Passo 2
O método de Newton para achar uma raiz de uma função
usa a iteração
Explicando devagar e na boa:
-
é a função cuja raiz procuramos; aqui . -
é a derivada de ; isso mede a inclinação da reta tangente a em . - A fórmula vem de aproximar
por sua reta tangente em e calcular onde essa reta cruza o eixo — esse cruzamento é .
Para a nossa função:
Agora aplicamos a fórmula a partir de
. Vou mostrar cada passo calculando
,
, a correção
e então
. Sempre dou os valores numéricos aproximados com algumas casas decimais convenientes.
Passo 3
Iteração 1 (calcular
):
- Calcular
:
Usando
,
- Calcular
:
- Correção:
- Atualização:
Passo 4
Iteração 2 (calcular
):
- Calcular
:
Estimando
(usei a relação com
para obter essa aproximação),
- Calcular
:
- Correção:
- Atualização:
Passo 5
Iteração 3 (calcular
):
- Calcular
:
Estimando
,
- Calcular
:
- Correção:
- Atualização:
Passo 6
Iteração 4 (calcular
):
- Calcular
:
Nesse ponto
é da ordem de
a
(muito pequeno), pois o método de Newton converge quadraticamente quando perto da raiz.
- Calcular
:
- Correção:
- Atualização: