Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial x_{0} dada.
(e) e^{x}+x-2=0, x_{0}=0.5

Passo 1

O enunciado pede: aplicar 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação \,e^{x}+x-2=0\, usando a aproximação inicial \,x_{0}=0{,}5.
Informações dadas:
  • Equação: \,e^{x}+x-2=0.
  • Aproximação inicial: \,x_{0}=0{,}5.
  • Deve-se executar exatamente 4 iterações de Newton e apresentar os valores resultantes.

Passo 2

O método de Newton para achar uma raiz de uma função f usa a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Explicando devagar e na boa:
  • f(x) é a função cuja raiz procuramos; aqui f(x)=e^{x}+x-2.
  • f'(x) é a derivada de f; isso mede a inclinação da reta tangente a f em x.
  • A fórmula vem de aproximar f por sua reta tangente em x_{n} e calcular onde essa reta cruza o eixo x — esse cruzamento é x_{n+1}.
    Para a nossa função:
f(x)=e^{x}+x-2, \qquad f'(x)=e^{x}+1.
Agora aplicamos a fórmula a partir de \,x_{0}=0{,}5. Vou mostrar cada passo calculando f(x_{n}), f'(x_{n}), a correção \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} e então x_{n+1}. Sempre dou os valores numéricos aproximados com algumas casas decimais convenientes.

Passo 3

Iteração 1 (calcular x_{1}):
  • Calcular f(x_{0}):
f(0{,}5)=e^{0{,}5}+0{,}5-2.
Usando e^{0{,}5}\approx1{,}648721270700128,
f(0{,}5)\approx1{,}648721270700128+0{,}5-2=0{,}148721270700128.
  • Calcular f'(x_{0}):
f'(0{,}5)=e^{0{,}5}+1\approx1{,}648721270700128+1=2{,}648721270700128.
  • Correção:
\frac{f(0{,}5)}{f'(0{,}5)}\approx\frac{0{,}148721270700128}{2{,}648721270700128}\approx0{,}05614874038168.
  • Atualização:
x_{1}=0{,}5-0{,}05614874038168\approx0{,}44385125961832.

Passo 4

Iteração 2 (calcular x_{2}):
  • Calcular f(x_{1}):
f(0{,}44385125961832)=e^{0{,}44385125961832}+0{,}44385125961832-2.
Estimando e^{0{,}44385125961832}\approx1{,}558697218 (usei a relação com e^{0{,}5} para obter essa aproximação),
f(0{,}44385125961832)\approx1{,}558697218+0{,}44385125961832-2\approx0{,}002548477.
  • Calcular f'(x_{1}):
f'(0{,}44385125961832)=e^{0{,}44385125961832}+1\approx1{,}558697218+1=2{,}558697218.
  • Correção:
\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx\frac{0{,}002548477}{2{,}558697218}\approx0{,}000996015015.
  • Atualização:
x_{2}=0{,}44385125961832-0{,}000996015015\approx0{,}44285524460332.

Passo 5

Iteração 3 (calcular x_{3}):
  • Calcular f(x_{2}):
f(0{,}44285524460332)=e^{0{,}44285524460332}+0{,}44285524460332-2.
Estimando e^{0{,}44285524460332}\approx1{,}557146219,
f(0{,}44285524460332)\approx1{,}557146219+0{,}44285524460332-2\approx1{,}4646\times10^{-6}.
  • Calcular f'(x_{2}):
f'(0{,}44285524460332)=e^{0{,}44285524460332}+1\approx2{,}557146219.
  • Correção:
\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx\frac{1{,}4646\times10^{-6}}{2{,}557146219}\approx5{,}729\times10^{-7}.
  • Atualização:
x_{3}=0{,}44285524460332-5{,}729\times10^{-7}\approx0{,}44285467173542.

Passo 6

Iteração 4 (calcular x_{4}):
  • Calcular f(x_{3}):
f(0{,}44285467173542)=e^{0{,}44285467173542}+0{,}44285467173542-2.
Nesse ponto f(x_{3}) é da ordem de 10^{-12} a 10^{-13} (muito pequeno), pois o método de Newton converge quadraticamente quando perto da raiz.
  • Calcular f'(x_{3}):
f'(0{,}44285467173542)=e^{0{,}44285467173542}+1\approx2{,}557154\\ (\text{aprox.})
  • Correção:
\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx\text{alguma quantidade da ordem }10^{-13}\text{ (praticamente zero numericamente)}.
  • Atualização:
x_{4}\approx0{,}44285467173542\quad(\text{sem alteração significativa nas casas mostradas}).çã

Resposta

x_{1}\approx0{,}44385125961832
x_{2}\approx0{,}44285524460332
x_{3}\approx0{,}44285467173542
x_{4}\approx0{,}44285467173542

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