Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial
dada.
(f)
(f)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Resolver aproximadamente a equação
usando o método de Newton. - Foi dada a aproximação inicial
. - Pede-se calcular 4 passos do método de Newton, ou seja, encontrar
.
Informações importantes fornecidas:
- Equação:
. - Aproximação inicial:
.
Passo 2
Apresentação do método de Newton (fórmula e por que funciona), aplicado ao problema.
- Método de Newton: para resolver
, a iteração de Newton é
Explicando: a cada passo aproximamos a curva por sua reta tangente em
e usamos a raiz dessa reta como nova aproximação. Isso costuma convergir rápido se a aproximação inicial estiver razoavelmente perto da solução.
- No nosso caso
. Então
Portanto a fórmula específica fica
Interpretação das variáveis:
-
é o valor da função no ponto atual; -
é a inclinação (derivada) no ponto atual; -
é o deslocamento da aproximação dado pela reta tangente.
Passo 3
Cálculo do primeiro passo
a partir de
.
- Avaliar
e em :
- Calcular
:
- Aplicar a fórmula de Newton:
Observação: o sinal negativo em
faz com que o incremento seja positivo, ou seja, passamos para a direita.
Passo 4
Cálculo do segundo passo
a partir de
. (Mostrando os valores usados)
- Avaliar
e em (valores aproximados):
- Calcular
:
- Aplicar Newton:
Comentário: o passo ficou bem menor (o método está convergindo rápido).
Passo 5
Cálculo do terceiro passo
a partir de
.
- Avaliar
e em (valores aproximados; note que estamos muito perto da raiz):
- Calcular
:
- Aplicar Newton:
Comentário: já estamos essencialmente na solução com grande precisão; a raiz exata (analítica) é
.
Passo 6
Cálculo do quarto passo
a partir de
. (mostrando que a solução praticamente não muda)
- Avaliar
e em :
- Calcular
:
- Aplicar Newton:
Conclusão prática: a partir de
já não há variação significativa nas casas decimais apresentadas, devido à convergência quadrática do método de Newton.