Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial x_{0} dada.
(f) \operatorname{sen} x-0.8=0, x_{0}=0.8

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Resolver aproximadamente a equação \sin x - 0,8 = 0 usando o método de Newton.
  • Foi dada a aproximação inicial x_{0}=0,8.
  • Pede-se calcular 4 passos do método de Newton, ou seja, encontrar x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
Informações importantes fornecidas:
  • Equação: \sin x - 0,8 = 0.
  • Aproximação inicial: x_{0}=0,8.

Passo 2

Apresentação do método de Newton (fórmula e por que funciona), aplicado ao problema.
  • Método de Newton: para resolver f(x)=0, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Explicando: a cada passo aproximamos a curva por sua reta tangente em x_n e usamos a raiz dessa reta como nova aproximação. Isso costuma convergir rápido se a aproximação inicial estiver razoavelmente perto da solução.
  • No nosso caso f(x)=\sin x-0,8. Então
f'(x)=\cos x.
Portanto a fórmula específica fica
x_{n+1}=x_{n}-\frac{\sin x_{n}-0,8}{\cos x_{n}}.
Interpretação das variáveis:
  • \sin x_{n} é o valor da função no ponto atual;
  • \cos x_{n} é a inclinação (derivada) no ponto atual;
  • \dfrac{\sin x_{n}-0,8}{\cos x_{n}} é o deslocamento da aproximação dado pela reta tangente.

Passo 3

Cálculo do primeiro passo x_{1} a partir de x_{0}=0,8.
  • Avaliar f e f' em x_{0}:
\sin(0,8)\approx 0,7173560909,\qquad \cos(0,8)\approx 0,6967067093.
  • Calcular f(x_{0}):
f(0,8)=\sin(0,8)-0,8 \approx 0,7173560909-0,8=-0,0826439091.
  • Aplicar a fórmula de Newton:
x_{1}=0,8-\frac{-0,0826439091}{0,6967067093} \approx 0,8+0,118629113 \approx 0,918629113.
Observação: o sinal negativo em f(0,8) faz com que o incremento seja positivo, ou seja, passamos para a direita.

Passo 4

Cálculo do segundo passo x_{2} a partir de x_{1}. (Mostrando os valores usados)
  • Avaliar \sin e \cos em x_{1} (valores aproximados):
\sin(0,918629113)\approx 0,794718432,\qquad \cos(0,918629113)\approx 0,606906892.
  • Calcular f(x_{1}):
f(0,918629113)=\sin(0,918629113)-0,8\approx -0,005281568.
  • Aplicar Newton:
x_{2}=0,918629113-\frac{-0,005281568}{0,606906892} \approx 0,918629113+0,008700819 \approx 0,927329932.
Comentário: o passo ficou bem menor (o método está convergindo rápido).

Passo 5

Cálculo do terceiro passo x_{3} a partir de x_{2}.
  • Avaliar \sin e \cos em x_{2} (valores aproximados; note que estamos muito perto da raiz):
\sin(0,927329932)\approx 0,800020937,\qquad \cos(0,927329932)\approx 0,599996055.
  • Calcular f(x_{2}):
f(0,927329932)=\sin(0,927329932)-0,8\approx 0,000020937.
  • Aplicar Newton:
x_{3}=0,927329932-\frac{0,000020937}{0,599996055} \approx 0,927329932-0,000034714 \approx 0,927295218.
Comentário: já estamos essencialmente na solução com grande precisão; a raiz exata (analítica) é x=\arcsin(0,8)\approx 0,927295218.

Passo 6

Cálculo do quarto passo x_{4} a partir de x_{3}. (mostrando que a solução praticamente não muda)
  • Avaliar \sin e \cos em x_{3}:
\sin(0,927295218)\approx 0,800000000\\ (\text{dentro da precisão usada}),\qquad \cos(0,927295218)\approx 0,600000000.ã
  • Calcular f(x_{3}):
f(0,927295218)\approx 0{,}0\\ \text{(numericamente muito pequeno)}.
  • Aplicar Newton:
x_{4}=0,927295218-\frac{f(0,927295218)}{\cos(0,927295218)} \approx 0,927295218.
Conclusão prática: a partir de x_{3} já não há variação significativa nas casas decimais apresentadas, devido à convergência quadrática do método de Newton.

Resposta

x_{1}\approx 0,918629113
x_{2}\approx 0,927329932
x_{3}\approx 0,927295218
x_{4}\approx 0,927295218

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