Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial
dada.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e a aproximação inicial
. Pede-se: realizar quatro passos do método de Newton, ou seja, calcular
usando a iteração de Newton a partir de
. As informações relevantes são:
- a função
; - a derivada
necessária ao método; - o ponto inicial
.
Passo 2
Explicando o método (passo-a-passo didático, sem pular etapas).
O método de Newton gera uma sequência
por:
Aqui:
-
é a função cuja raiz buscamos; -
é a derivada de ; - a ideia é aproximar a função por sua reta tangente em
e usar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação.
Para a nossa função:
derivando termo a termo (explicando cada termo):
- a derivada de
é ; - a derivada de
é ; - a derivada de
é .
Portanto
Em cada iteração vamos calcular
,
, a razão
e então
.
Passo 3
Cálculo de
a partir de
.
Calcular
:
Computando os termos separadamente:
Logo
Calcular
:
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 4
Cálculo de
a partir de
.
Primeiro
:
Calculando os termos (aproximações usadas):
Logo
Agora
:
Razão e atualização:
Passo 5
Cálculo de
a partir de
.
Primeiro
:
Termos aproximados:
Logo
Agora
:
Razão e atualização:
Passo 6
Cálculo de
a partir de
.
Com
, os valores de
e
ficam muito pequenos/próximos dos do passo anterior:
Razão:
Atualização:
Ou seja, já houve convergência na casa dos
–
.