Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial x_{0} dada.
(c) \ln x-x^{2}+3 x=0, x_{0}=3.2

Passo 1

O enunciado dá a equação
\ln x - x^{2} + 3x = 0
e a aproximação inicial x_{0}=3,2. Pede-se: realizar quatro passos do método de Newton, ou seja, calcular x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} usando a iteração de Newton a partir de x_{0}. As informações relevantes são:
  • a função f(x)=\ln x - x^{2} + 3x;
  • a derivada f'(x) necessária ao método;
  • o ponto inicial x_{0}=3,2.

Passo 2

Explicando o método (passo-a-passo didático, sem pular etapas).
O método de Newton gera uma sequência x_{n} por:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui:
  • f(x) é a função cuja raiz buscamos;
  • f'(x) é a derivada de f;
  • a ideia é aproximar a função por sua reta tangente em x_{n} e usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação.
Para a nossa função:
f(x)=\ln x - x^{2} + 3x,
derivando termo a termo (explicando cada termo):
  • a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x};
  • a derivada de -x^{2} é -2x;
  • a derivada de 3x é 3.
Portanto
f'(x)=\frac{1}{x}-2x+3.
Em cada iteração vamos calcular f(x_{n}), f'(x_{n}), a razão \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} e então x_{n+1}.

Passo 3

Cálculo de x_{1} a partir de x_{0}=3,2.
Calcular f(3,2):
f(3,2)=\ln(3,2)-(3,2)^{2}+3\cdot(3,2).
Computando os termos separadamente:
(3,2)^{2}=10,24,\qquad 3\cdot(3,2)=9,6,\qquad \ln(3,2)\approx1,1631508.
Logo
f(3,2)\approx1,1631508-10,24+9,6=0,5231508.
Calcular f'(3,2):
f'(3,2)=\frac{1}{3,2}-2\cdot3,2+3=0,3125-6,4+3=-3,0875.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=3,2-\frac{0,5231508}{-3,0875}=3,2+0,169386\approx3,369386.

Passo 4

Cálculo de x_{2} a partir de x_{1}.
Primeiro f(3,369386):
f(3,369386)=\ln(3,369386)-(3,369386)^{2}+3\cdot(3,369386).
Calculando os termos (aproximações usadas):
\ln(3,369386)\approx1,214785,\qquad (3,369386)^{2}\approx11,352765,\qquad 3\cdot(3,369386)=10,108158.
Logo
f(3,369386)\approx1,214785-11,352765+10,108158=-0,029822.
Agora f'(3,369386):
f'(3,369386)=\frac{1}{3,369386}-2\cdot3,369386+3\approx0,296764-6,738772+3=-3,442008.
Razão e atualização:
\frac{f(3,369386)}{f'(3,369386)}\approx\frac{-0,029822}{-3,442008}=0,008659,
x_{2}=3,369386-0,008659\approx3,360727.

Passo 5

Cálculo de x_{3} a partir de x_{2}.
Primeiro f(3,360727):
f(3,360727)=\ln(3,360727)-(3,360727)^{2}+3\cdot(3,360727).
Termos aproximados:
\ln(3,360727)\approx1,212204,\qquad (3,360727)^{2}\approx11,294485,\qquad 3\cdot(3,360727)=10,082181.
Logo
f(3,360727)\approx1,212204-11,294485+10,082181=-0,000100\\ (\text{aprox. }-1,0\times10^{-4}).
Agora f'(3,360727):
f'(3,360727)=\frac{1}{3,360727}-2\cdot3,360727+3\approx0,297530-6,721454+3=-3,423924.
Razão e atualização:
\frac{f(3,360727)}{f'(3,360727)}\approx\frac{-0,000100}{-3,423924}=0,00002919,
x_{3}=3,360727-0,00002919\approx3,3606978\approx3,360698\\ (\text{arred. a }6\text{ casas}).

Passo 6

Cálculo de x_{4} a partir de x_{3}.
Com x_{3}\approx3,3606978, os valores de f e f' ficam muito pequenos/próximos dos do passo anterior:
f(3,3606978)\approx -2\times10^{-7},\qquad f'(3,3606978)\approx-3,42386.
Razão:
\frac{f(3,3606978)}{f'(3,3606978)}\approx\frac{-2\times10^{-7}}{-3,42386}\approx5,8\times10^{-8}.
Atualização:
x_{4}=3,3606978-5,8\times10^{-8}\approx3,3606978.
Ou seja, já houve convergência na casa dos 10^{-6} 10^{-7}.

Resposta

x_{1}\approx3,369386
x_{2}\approx3,360727
x_{3}\approx3,360698
x_{4}\approx3,360698

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