Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial x_{0} dada.
(d) \operatorname{tg} x-\ln x=0, x_{0}=4.5

Passo 1

O enunciado pede: aplicar 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação \tan x - \ln x = 0 a partir da aproximação inicial \;x_{0}=4,5.
Informações dadas:
  • A equação: \tan x - \ln x = 0.
  • Aproximação inicial: \;x_{0}=4,5.
  • Objetivo: calcular \;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} usando o método de Newton (quatro iterações).

Passo 2

Explicando o método (passo-a-passo didático e sem pular etapas).
  • Ideia do método de Newton: a cada iteração usa-se a reta tangente em (x_n,f(x_n)) para obter uma nova aproximação \;x_{n+1} da raiz. A fórmula iterativa é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui f(x)=\tan x - \ln x. Vamos calcular f'(x):
  • Derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x (lembre: \operatorname{sec} x = 1/\cos x).
  • Derivada de \ln x é 1/x.
Portanto
f'(x)=\operatorname{sec}^{2}x-\frac{1}{x}.
Observações práticas para as contas sem calculadora:
  • Para valores de x próximos de \pi/2 é útil usar a identidade \tan\theta=\cot\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\theta\bigr)=\dfrac{1}{\tan(\tfrac{\pi}{2}-\theta)}. Quando \tfrac{\pi}{2}-\theta é pequeno, pode aproximar \tan z por séries: \tan z\approx z+\dfrac{z^{3}}{3}+\dfrac{2z^{5}}{15} (suficiente para nossos propósitos). Sempre trabalhar em radianos.
Agora vamos aplicar a fórmula de Newton quatro vezes. Em cada iteração vou mostrar: cálculo de f(x_n), cálculo de f'(x_n) e atualização para x_{n+1}. Vou arredondar os valores decimais, mantendo precisão suficiente para que as iterações façam sentido.

Passo 3

Primeira iteração (calcular x_{1} a partir de x_{0}=4,5).
  1. Calcular f(x_{0}):
f(4,5)=\tan(4,5)-\ln(4,5).
  • \ln(4,5) é exatamente \approx 1,504077.
  • Para \tan(4,5) usou-se a identidade \tan(4,5)=\tan(4,5-\pi)=\tan(1,35840735). Esse ângulo está perto de \tfrac{\pi}{2}, então podemos estimar \tan(1,3584)\approx 4,637332 (valor numérico aproximado).
    Logo
f(4,5)\approx 4,637332-1,504077=3,133255.
  1. Calcular f'(4,5):
f'(4,5)=\operatorname{sec}^{2}(4,5)-\frac{1}{4,5}.
Usando \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x e \tan(4,5)\approx 4,637332,
\operatorname{sec}^{2}(4,5)\approx 1+4,637332^{2}\approx 22,499.
E \dfrac{1}{4,5}\approx 0,222222. Portanto
f'(4,5)\approx 22,499-0,222222=22,2768.
  1. Atualizar x_{1}:
x_{1}=4,5-\frac{3,133255}{22,2768}\approx 4,35934.

Passo 4

Segunda iteração (calcular x_{2} a partir de x_{1}\approx 4,35934).
  1. Calcular f(x_{1}):
f(4,35934)=\tan(4,35934)-\ln(4,35934).
  • Para \tan(4,35934) escrevemos 4,35934-\pi\approx 1,217745. Como esse ângulo está próximo de \tfrac{\pi}{2}, usamos \tan(\theta)=1/\tan(\tfrac{\pi}{2}-\theta). Aqui \tfrac{\pi}{2}-1,217745\approx 0,35306 é pequeno; usando a expansão \tan z\approx z+\dfrac{z^{3}}{3}+\dfrac{2z^{5}}{15} obtemos \tan(0,35306)\approx 0,3684, então \tan(1,217745)\approx 1/0,3684\approx 2,713.
  • \ln(4,35934): 4,35934/4\approx 1,089835, então \ln(4,35934)\approx 1,386294+\ln(1,089835)\approx 1,47229.
Logo
f(4,35934)\approx 2,713-1,47229=1,24071.
  1. Calcular f'(4,35934):
f'(4,35934)=1+\tan^{2}(4,35934)-\frac{1}{4,35934}.
Com \tan(4,35934)\approx 2,713 temos 1+\tan^{2}\approx 1+7,361\approx 8,361. E 1/4,35934\approx 0,22937. Portanto
f'(4,35934)\approx 8,361-0,22937=8,1316.
  1. Atualizar x_{2}:
x_{2}=4,35934-\frac{1,24071}{8,1316}\approx 4,20674.

Passo 5

Terceira iteração (calcular x_{3} a partir de x_{2}\approx 4,20674).
  1. Calcular f(4,20674):
f(4,20674)=\tan(4,20674)-\ln(4,20674).
  • 4,20674-\pi\approx 1,06515. Usando \tan(1,06515)=1/\tan(\tfrac{\pi}{2}-1,06515) com \tfrac{\pi}{2}-1,06515\approx 0,50565 e a expansão de \tan pequena, obtemos \tan(0,50565)\approx 0,5532 e portanto \tan(1,06515)\approx 1/0,5532\approx 1,807.
  • \ln(4,20674)\approx 1,386294+\ln(1,051685)\approx 1,43669.
Logo
f(4,20674)\approx 1,807-1,43669=0,37031.
  1. Calcular f'(4,20674):
f'(4,20674)=1+\tan^{2}(4,20674)-\frac{1}{4,20674}.
Com \tan(4,20674)\approx 1,807 temos 1+\tan^{2}\approx 1+3,266\approx 4,266. E 1/4,20674\approx 0,2377. Então
f'(4,20674)\approx 4,266-0,2377=4,0283.
  1. Atualizar x_{3}:
x_{3}=4,20674-\frac{0,37031}{4,0283}\approx 4,11483.

Passo 6

Quarta iteração (calcular x_{4} a partir de x_{3}\approx 4,11483).
  1. Calcular f(4,11483):
f(4,11483)=\tan(4,11483)-\ln(4,11483).
  • 4,11483-\pi\approx 0,973237. Usando \tfrac{\pi}{2}-0,973237\approx 0,59757 pequeno-médio e a expansão, obtemos \tan(0,59757)\approx 0,6876 e assim \tan(0,973237)\approx 1/0,6876\approx 1,455.
  • \ln(4,11483)\approx 1,386294+\ln(1,028708)\approx 1,41457.
Logo
f(4,11483)\approx 1,455-1,41457=0,04043.
  1. Calcular f'(4,11483):
f'(4,11483)=1+\tan^{2}(4,11483)-\frac{1}{4,11483}.
Com \tan(4,11483)\approx 1,455 temos 1+\tan^{2}\approx 1+2,117\approx 3,117. E 1/4,11483\approx 0,2429. Então
f'(4,11483)\approx 3,117-0,2429=2,8741.
  1. Atualizar x_{4}:
x_{4}=4,11483-\frac{0,04043}{2,8741}\approx 4,10076.

Resposta

x_{1}\approx 4,35934
x_{2}\approx 4,20674
x_{3}\approx 4,11483
x_{4}\approx 4,10076

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