Questão 2. Para cada item, calcule 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação, usando a aproximação inicial
dada.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: aplicar 4 passos do método de Newton para aproximar a solução da equação
a partir da aproximação inicial
.
Informações dadas:
- A equação:
. - Aproximação inicial:
. - Objetivo: calcular
usando o método de Newton (quatro iterações).
Passo 2
Explicando o método (passo-a-passo didático e sem pular etapas).
- Ideia do método de Newton: a cada iteração usa-se a reta tangente em
para obter uma nova aproximação da raiz. A fórmula iterativa é
Aqui
. Vamos calcular
:
- Derivada de
é (lembre: ). - Derivada de
é .
Portanto
Observações práticas para as contas sem calculadora:
- Para valores de
próximos de é útil usar a identidade . Quando é pequeno, pode aproximar por séries: (suficiente para nossos propósitos). Sempre trabalhar em radianos.
Agora vamos aplicar a fórmula de Newton quatro vezes. Em cada iteração vou mostrar: cálculo de
, cálculo de
e atualização para
. Vou arredondar os valores decimais, mantendo precisão suficiente para que as iterações façam sentido.
Passo 3
Primeira iteração (calcular
a partir de
).
- Calcular
:
-
é exatamente . - Para
usou-se a identidade . Esse ângulo está perto de , então podemos estimar (valor numérico aproximado).
Logo
- Calcular
:
Usando
e
,
E
. Portanto
- Atualizar
:
Passo 4
Segunda iteração (calcular
a partir de
).
- Calcular
:
- Para
escrevemos . Como esse ângulo está próximo de , usamos . Aqui é pequeno; usando a expansão obtemos , então . -
: , então .
Logo
- Calcular
:
Com
temos
. E
. Portanto
- Atualizar
:
Passo 5
Terceira iteração (calcular
a partir de
).
- Calcular
:
-
. Usando com e a expansão de pequena, obtemos e portanto . -
.
Logo
- Calcular
:
Com
temos
. E
. Então
- Atualizar
:
Passo 6
Quarta iteração (calcular
a partir de
).
- Calcular
:
-
. Usando pequeno-médio e a expansão, obtemos e assim . -
.
Logo
- Calcular
:
Com
temos
. E
. Então
- Atualizar
: