As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(b) \left[\begin{array}{ll}1 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 2 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de coeficientes do sistema
com duas incógnitas x_1,x_2. Queremos que o sistema tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo de \boldsymbol b. Isso ocorre exatamente quando
\rank(A)<\text{nº de incógnitas}=2,
isto é, \rank(A)=1.
Passo 2
Para \rank(A)=1, as duas colunas de A devem ser linearmente dependentes. As colunas são
c_1=(1,3,2)^T \quad\text{e}\quad c_2=(x,1,y)^T.
Buscamos \lambda tal que
c_2=\lambda\,c_1,
ou seja
(x,1,y)=\lambda\,(1,3,2).
Passo 3
Das componentes temos o sistema
x=\lambda,\quad 1=3\lambda,\quad y=2\lambda.
Da segunda equação vem
\lambda=\tfrac13.
Substituindo em x=\lambda e y=2\lambda obtemos
x=\tfrac13, \quad y=2\cdot\tfrac13=\tfrac23.
Passo 4
Com x=\tfrac13 e y=\tfrac23, \rank(A)=1. Então o sistema só terá solução se \boldsymbol b pertencer ao espaço gerado por c_1, caso em que há infinitas soluções; caso contrário, não há solução.