Questão 3. Em cada um dos itens abaixo verifique se as aplicações
\begin{aligned} \langle\cdot, \cdot\rangle: \mathbb{V} \times \mathbb{V} & \longrightarrow \mathbb{R} \\\ (u, v) & \mapsto\langle u, v\rangle . \end{aligned}
definem um produto interno sobre o espaço vetorial \mathbb{V}.
(e) \mathbb{V}=\mathbb{M}(2) \mathrm{e}\langle u, v\rangle=u_{11} v_{11}+2 u_{12} v_{12}+3 u_{21} v_{21}+u_{22} v_{22}.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
\begin{aligned} \langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb{V}\times\mathbb{V}&\longrightarrow\mathbb{R}\\\ (u,v)&\mapsto\langle u,v\rangle \end{aligned}
com em \mathbb{V}=\mathbb{M}(2) (matrizes 2\times2 reais) definida por
\langle u,v\rangle = u_{11}v_{11}+2u_{12}v_{12}+3u_{21}v_{21}+u_{22}v_{22},
onde u_{ij} e v_{ij} são as entradas das matrizes u e v. A pergunta é: essa aplicação define um produto interno sobre \mathbb{M}(2)?\n
Listei as informações fornecidas e qual é a pergunta — agora vamos verificar as propriedades necessárias.

Passo 2

Lembra do que é preciso checar para ser um produto interno num espaço vetorial real: devemos verificar três propriedades (vou explicar cada uma com calma):
  1. (Simetria) Para todo u,v temos \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle. Isso diz que a ordem não importa.
  2. (Linearidade no primeiro argumento) Para todo u,w,v\in\mathbb{M}(2) e escalares a,b\in\mathbb{R} vale
\langle a u + b w, v\rangle = a\langle u,v\rangle + b\langle w,v\rangle.
Isto é distribuir soma e constantes para fora do produto interno. (Em espaços reais, simetria + linearidade no primeiro argumento dá linearidade também no segundo, já vou mostrar.)
3) (Definitude positiva) Para todo v\in\mathbb{M}(2) temos \langle v,v\rangle \ge 0 e \langle v,v\rangle=0 se, e somente se, v é a matriz zero. Isso garante que o “comprimento” não é negativo e só é zero para o vetor nulo.\n
Agora vamos checar cada uma dessas propriedades para a aplicação dada.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente as matrizes. Seja
u=\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}\\[4pt]u_{21}&u_{22}\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}v_{11}&v_{12}\\[4pt]v_{21}&v_{22}\end{pmatrix}.
A definição dada é
\langle u,v\rangle = u_{11}v_{11}+2u_{12}v_{12}+3u_{21}v_{21}+u_{22}v_{22}.
Nós usaremos essa expressão para verificar as propriedades.]

Passo 4

Calcule \langle v,u\rangle trocando u por v na fórmula:
\langle v,u\rangle = v_{11}u_{11}+2v_{12}u_{12}+3v_{21}u_{21}+v_{22}u_{22}.
Como a multiplicação real é comutativa ( v_{ij}u_{ij}=u_{ij}v_{ij}) segue que cada termo corresponde ao termo de \langle u,v\rangle. Logo
\langle v,u\rangle = u_{11}v_{11}+2u_{12}v_{12}+3u_{21}v_{21}+u_{22}v_{22}=\langle u,v\rangle.
Portanto a simetria está verificada.

Passo 5

Agora mostramos que para a,b\in\mathbb{R} e u,w,v\in\mathbb{M}(2) vale
\langle a u + b w, v\rangle = a\langle u,v\rangle + b\langle w,v\rangle.
Vou fazer expandindo as entradas e usando propriedades elementares da multiplicação e soma reais.

Passo 6

Seja w=\begin{pmatrix}w_{11}&w_{12}\\[4pt]w_{21}&w_{22}\end{pmatrix}. Então a u + b w é a matriz cujas entradas são a u_{ij} + b w_{ij}. Aplicando a definição,
\begin{aligned} \langle a u + b w, v\rangle &= (a u_{11}+b w_{11})v_{11} + 2(a u_{12}+b w_{12})v_{12} \\\ &\quad + 3(a u_{21}+b w_{21})v_{21} + (a u_{22}+b w_{22})v_{22}. \end{aligned}
Agora distribuímos em cada termo (propriedade distributiva e associativa dos reais):
\begin{aligned} \langle a u + b w, v\rangle &= a(u_{11}v_{11}) + b(w_{11}v_{11}) + 2\big(a(u_{12}v_{12})+b(w_{12}v_{12})\big)\\\ &\quad + 3\big(a(u_{21}v_{21})+b(w_{21}v_{21})\big) + a(u_{22}v_{22}) + b(w_{22}v_{22}). \end{aligned}
Agrupando os termos com a e com b:
\langle a u + b w, v\rangle = a\big(u_{11}v_{11}+2u_{12}v_{12}+3u_{21}v_{21}+u_{22}v_{22}\big) + b\big(w_{11}v_{11}+2w_{12}v_{12}+3w_{21}v_{21}+w_{22}v_{22}\big).
Pelo formato da definição, esses parênteses são \langle u,v\rangle e \langle w,v\rangle. Então
\langle a u + b w, v\rangle = a\langle u,v\rangle + b\langle w,v\rangle.
Portanto a linearidade no primeiro argumento está verificada.]

Passo 7

Em espaços reais, uma vez que temos simetria e linearidade no primeiro argumento, obtemos linearidade no segundo argumento facilmente:
\langle u, a v + b w\rangle = \langle a v + b w, u\rangle = a\langle v,u\rangle + b\langle w,u\rangle = a\langle u,v\rangle + b\langle u,w\rangle.
Usei primeiro a simetria (trocar ordem) e depois a linearidade já verificada. Logo é bilinear (linear em cada argumento).

Passo 8

Calcule \langle u,u\rangle aplicando a fórmula com v=u:
\langle u,u\rangle = u_{11}^2 + 2u_{12}^2 + 3u_{21}^2 + u_{22}^2.
Cada termo é um quadrado real multiplicado por um coeficiente. Note que os coeficientes são 1,2,3,1, todos positivos. Portanto cada termo é \ge 0, de modo que \langle u,u\rangle \ge 0 para todo u. Além disso, se \langle u,u\rangle = 0 então cada termo deve ser zero (soma de números não negativos é zero só se cada parcela for zero). Assim
u_{11}^2=0,\quad u_{12}^2=0,\quad u_{21}^2=0,\quad u_{22}^2=0,
o que implica u_{11}=u_{12}=u_{21}=u_{22}=0, ou seja u é a matriz zero. Portanto \langle u,u\rangle=0 implica u=0. Assim a propriedade de positividade e igualdade só no vetor nulo está satisfeita.

Passo 9

Verificamos simetria, linearidade em cada argumento e positividade definida. Por isso a aplicação satisfaz todas as condições de um produto interno em \mathbb{M}(2). Um pequeno exemplo numérico para fixar: se
u=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]0&-1\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]3&2\end{pmatrix},
então
\langle u,v\rangle = 1\cdot 0 + 2\cdot 2\cdot 1 + 3\cdot 0\cdot 3 + (-1)\cdot 2 = 0 + 4 + 0 -2 = 2,
só para ver como calcular na prática.]

Resposta

Sim. A aplicação define um produto interno sobre \mathbb{M}(2).

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