Questão 3. Em cada um dos itens abaixo verifique se as aplicações
definem um produto interno sobre o espaço vetorial
.
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
com em
(matrizes
reais) definida por
onde
e
são as entradas das matrizes
e
. A pergunta é: essa aplicação define um produto interno sobre
?\n
Listei as informações fornecidas e qual é a pergunta — agora vamos verificar as propriedades necessárias.
Listei as informações fornecidas e qual é a pergunta — agora vamos verificar as propriedades necessárias.
Passo 2
Lembra do que é preciso checar para ser um produto interno num espaço vetorial real: devemos verificar três propriedades (vou explicar cada uma com calma):
- (Simetria) Para todo
temos . Isso diz que a ordem não importa. - (Linearidade no primeiro argumento) Para todo
e escalares vale
Isto é distribuir soma e constantes para fora do produto interno. (Em espaços reais, simetria + linearidade no primeiro argumento dá linearidade também no segundo, já vou mostrar.)
3) (Definitude positiva) Para todo temos
e
se, e somente se,
é a matriz zero. Isso garante que o “comprimento” não é negativo e só é zero para o vetor nulo.\n
Agora vamos checar cada uma dessas propriedades para a aplicação dada.
3) (Definitude positiva) Para todo
Agora vamos checar cada uma dessas propriedades para a aplicação dada.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente as matrizes. Seja
A definição dada é
Nós usaremos essa expressão para verificar as propriedades.]
Passo 4
Calcule
trocando
por
na fórmula:
Como a multiplicação real é comutativa (
) segue que cada termo corresponde ao termo de
. Logo
Portanto a simetria está verificada.
Passo 5
Agora mostramos que para
e
vale
Vou fazer expandindo as entradas e usando propriedades elementares da multiplicação e soma reais.
Passo 6
Seja
. Então
é a matriz cujas entradas são
. Aplicando a definição,
Agora distribuímos em cada termo (propriedade distributiva e associativa dos reais):
Agrupando os termos com
e com
:
Pelo formato da definição, esses parênteses são
e
. Então
Portanto a linearidade no primeiro argumento está verificada.]
Passo 7
Em espaços reais, uma vez que temos simetria e linearidade no primeiro argumento, obtemos linearidade no segundo argumento facilmente:
Usei primeiro a simetria (trocar ordem) e depois a linearidade já verificada. Logo é bilinear (linear em cada argumento).
Passo 8
Calcule
aplicando a fórmula com
:
Cada termo é um quadrado real multiplicado por um coeficiente. Note que os coeficientes são
, todos positivos. Portanto cada termo é
, de modo que
para todo
. Além disso, se
então cada termo deve ser zero (soma de números não negativos é zero só se cada parcela for zero). Assim
o que implica
, ou seja
é a matriz zero. Portanto
implica
. Assim a propriedade de positividade e igualdade só no vetor nulo está satisfeita.
Passo 9
Verificamos simetria, linearidade em cada argumento e positividade definida. Por isso a aplicação satisfaz todas as condições de um produto interno em
. Um pequeno exemplo numérico para fixar: se
então
só para ver como calcular na prática.]
Resposta
Sim. A aplicação define um produto interno sobre
.