Questão 3. Em cada um dos itens abaixo verifique se as aplicações
definem um produto interno sobre o espaço vetorial
.
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e a aplicação
definida por
onde
e
são vetores de
.
A pergunta é: esta aplicação define um produto interno sobre
? Ou seja, verificar se todas as propriedades necessárias para ser um produto interno são satisfeitas.
Passo 2
Vou listar com calma as propriedades que uma aplicação
precisa satisfazer para ser um produto interno (vou escrever a versão para espaços reais, que é o nosso caso):
para todos
e todos escalares
.
(Para espaços reais, linearidade no primeiro argumento e simetria implicam bilinearidade.)
(Para espaços reais, linearidade no primeiro argumento e simetria implicam bilinearidade.)
Explicando em palavras: simetria é que trocar os vetores não muda o valor; linearidade significa que o produto interno se comporta bem com soma e multiplicação por escalar no primeiro argumento; positividade definida diz que o “auto-produto”
é não-negativo e só é zero para o vetor nulo.
Agora vou verificar, passo a passo, se a aplicação dada satisfaz cada propriedade.
Passo 3
Verificação da simetria (P1).
Tomando
e
, temos pela definição
Como o valor absoluto satisfaz
para quaisquer números reais
, segue que
Somando essas igualdades obtemos
Portanto a simetria (P1) é satisfeita.
Passo 4
Verificação da positividade e da definitude estrita (P3 e P4).
Calcule
para um vetor arbitrário
:
Ou seja, para todo vetor
(mesmo que
) a aplicação dá
.
Isto contraria a exigência de definitude estrita (P4), que pede
sempre que
. A conclusão imediata: a aplicação não satisfaz a propriedade imprescindível de que somente o vetor nulo tem produto interno zero. Por exemplo, pegando explicitamente
(um vetor não nulo), temos
mostrando o violamento de (P4).
Como a definitude estrita falhou, a aplicação não pode ser um produto interno. Mesmo assim, por completude, vou também checar a linearidade para ver mais problemas.
Passo 5
Verificação da linearidade no primeiro argumento (P2) — contraexemplo.
Aplique a propriedade de homogeneidade (caso especial da linearidade) com um escalar
. Se fosse linear, deveríamos ter para todo
e todo
:
Vou mostrar que isso falha com um exemplo numérico simples. Tome
Calcule o lado esquerdo:
O lado direito seria
Como
, a igualdade pedida pela linearidade não se verifica. Logo a aplicação não é linear no primeiro argumento.
Também poderíamos verificar a aditividade usando outros exemplos; um contraexemplo já é suficiente para concluir que (P2) falha.
Passo 6
Conclusão lógica: para ser um produto interno uma aplicação deve satisfazer simultaneamente simetria, linearidade e positividade definida (com definitude estrita). Aqui temos:
- Simetria: satisfeita (Passo 3).
- Definitude estrita: falha grosseiramente, pois
para todo (Passo 4). - Linearidade no primeiro argumento: falha (Passo 5).
Bastam essas falhas (especialmente a definitude) para concluir que a aplicação dada não é um produto interno em
.
Força aí — produto interno é algo bem exigente; esta função que mistura módulos/valores absolutos lembra uma distância (é a distância L1 entre pontos) e não um produto interno.
Resposta
Não, não define um produto interno.