Questão 3. Em cada um dos itens abaixo verifique se as aplicações
\begin{aligned} \langle\cdot, \cdot\rangle: \mathbb{V} \times \mathbb{V} & \longrightarrow \mathbb{R} \\\ (u, v) & \mapsto\langle u, v\rangle . \end{aligned}
definem um produto interno sobre o espaço vetorial \mathbb{V}.
(d) \mathbb{V}=\mathbb{R}^{2} \mathrm{e}\langle u, v\rangle=\left|u_{1}-v_{1}\right|+\left|u_{2}-v_{2}\right|.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathbb{V}=\mathbb{R}^2 e a aplicação
\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}
definida por
\langle u,v\rangle = \left|u_{1}-v_{1}\right| + \left|u_{2}-v_{2}\right|,
onde u=(u_{1},u_{2}) e v=(v_{1},v_{2}) são vetores de \mathbb{R}^2.
A pergunta é: esta aplicação define um produto interno sobre \mathbb{R}^2? Ou seja, verificar se todas as propriedades necessárias para ser um produto interno são satisfeitas.

Passo 2

Vou listar com calma as propriedades que uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle precisa satisfazer para ser um produto interno (vou escrever a versão para espaços reais, que é o nosso caso):
\text{(P1) Simetria: }\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle\quad\text{para todos }u,v.
\text{(P2) Linearidade no primeiro argumento: }\langle a u + b w, v\rangle = a\langle u,v\rangle + b\langle w,v\rangle
para todos u,w,v e todos escalares a,b\in\mathbb{R}.
(Para espaços reais, linearidade no primeiro argumento e simetria implicam bilinearidade.)
\text{(P3) Positividade definida: }\langle v,v\rangle \ge 0\text{ para todo }v,\quad\text{e}
\text{(P4) Definitude estrita: se }v\neq 0\text{ então }\langle v,v\rangle>0.ã
Explicando em palavras: simetria é que trocar os vetores não muda o valor; linearidade significa que o produto interno se comporta bem com soma e multiplicação por escalar no primeiro argumento; positividade definida diz que o “auto-produto” \langle v,v\rangle é não-negativo e só é zero para o vetor nulo.
Agora vou verificar, passo a passo, se a aplicação dada satisfaz cada propriedade.

Passo 3

Verificação da simetria (P1).
Tomando u=(u_{1},u_{2}) e v=(v_{1},v_{2}), temos pela definição
\langle u,v\rangle = |u_{1}-v_{1}| + |u_{2}-v_{2}|.
Como o valor absoluto satisfaz |a-b|=|b-a| para quaisquer números reais a,b, segue que
|u_{1}-v_{1}| = |v_{1}-u_{1}|\quad\text{e}\quad |u_{2}-v_{2}| = |v_{2}-u_{2}|.
Somando essas igualdades obtemos
\langle u,v\rangle = |u_{1}-v_{1}| + |u_{2}-v_{2}| = |v_{1}-u_{1}| + |v_{2}-u_{2}| = \langle v,u\rangle.
Portanto a simetria (P1) é satisfeita.

Passo 4

Verificação da positividade e da definitude estrita (P3 e P4).
Calcule \langle v,v\rangle para um vetor arbitrário v=(v_{1},v_{2}):
\langle v,v\rangle = |v_{1}-v_{1}| + |v_{2}-v_{2}| = |0| + |0| = 0.
Ou seja, para todo vetor v (mesmo que v\neq 0) a aplicação dá \langle v,v\rangle=0.
Isto contraria a exigência de definitude estrita (P4), que pede \langle v,v\rangle>0 sempre que v\neq 0. A conclusão imediata: a aplicação não satisfaz a propriedade imprescindível de que somente o vetor nulo tem produto interno zero. Por exemplo, pegando explicitamente v=(1,0) (um vetor não nulo), temos
\langle (1,0),(1,0)\rangle = 0,
mostrando o violamento de (P4).
Como a definitude estrita falhou, a aplicação não pode ser um produto interno. Mesmo assim, por completude, vou também checar a linearidade para ver mais problemas.

Passo 5

Verificação da linearidade no primeiro argumento (P2) — contraexemplo.
Aplique a propriedade de homogeneidade (caso especial da linearidade) com um escalar a. Se fosse linear, deveríamos ter para todo u,v e todo a\in\mathbb{R}:
\langle a u, v\rangle = a \langle u,v\rangle.
Vou mostrar que isso falha com um exemplo numérico simples. Tome
u=(1,0),\qquad v=(2,0),\qquad a=2.
Calcule o lado esquerdo:
\langle a u, v\rangle = \langle (2\cdot1,2\cdot0),(2,0)\rangle = \langle (2,0),(2,0)\rangle = |2-2| + |0-0| = 0.
O lado direito seria
a\langle u,v\rangle = 2\bigl(|1-2| + |0-0|\bigr) = 2\cdot 1 = 2.
Como 0 \neq 2, a igualdade pedida pela linearidade não se verifica. Logo a aplicação não é linear no primeiro argumento.
Também poderíamos verificar a aditividade usando outros exemplos; um contraexemplo já é suficiente para concluir que (P2) falha.

Passo 6

Conclusão lógica: para ser um produto interno uma aplicação deve satisfazer simultaneamente simetria, linearidade e positividade definida (com definitude estrita). Aqui temos:
  • Simetria: satisfeita (Passo 3).
  • Definitude estrita: falha grosseiramente, pois \langle v,v\rangle=0 para todo v (Passo 4).
  • Linearidade no primeiro argumento: falha (Passo 5).
Bastam essas falhas (especialmente a definitude) para concluir que a aplicação dada não é um produto interno em \mathbb{R}^2.
Força aí — produto interno é algo bem exigente; esta função que mistura módulos/valores absolutos lembra uma distância (é a distância L1 entre pontos) e não um produto interno.

Resposta

Não, não define um produto interno.

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