Questão 1. Em cada um dos itens abaixo, verifique se as funções y1 e y2 são soluções para a EDO em questão, além disso, considere a solução dada por
phi=c1 y1+c2 y2
Determine c1 e c2 de modo que phi satisfaça as condições iniciais.
y^prime prime-y=0 ; y1=e^x e y2=e^-x. Com y(0)=0 e y^prime(0)=5.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
y'' - y = 0
As funções fornecidas são $ y_{1} = e^{x} $ e $ y_{2} = e^{-x} $. A gente precisa verificar se essas funções são soluções dessa EDO. Depois, vamos usar a combinação dessas soluções na forma:
y1 = e^x
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ c_{1} $ e $ c_{2} $ que fazem com que $ \phi $ satisfaça as condições iniciais dadas:
y2 = e^-x
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre soluções de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e o conceito de combinação linear de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se $ y_{1} = e^{x} $ é uma solução da EDO $ y’’ - y = 0 $. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de $ y_{1} $:
y1 = e^x
y'' - y = 0
Agora, substituímos na EDO:
y1
Como o resultado é zero, $ y_{1} = e^{x} $ é realmente uma solução da EDO.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para $ y_{2} = e^{-x} $. Calculamos as derivadas:
y2 = e^-x
y2' = ddx e^-x = -e^-x
Substituindo na EDO:
y2'' = ddx (-e^-x) = e^-x
Então, $ y_{2} = e^{-x} $ também é uma solução da EDO.

Passo 4

Agora que confirmamos que $ y_{1} $ e $ y_{2} $ são soluções, vamos usar a combinação linear delas para construir a solução geral:
y1
Queremos encontrar os valores de $ c_{1} $ e $ c_{2} $ que fazem com que $ \phi $ atenda às condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 5 $.

Passo 5

Primeiro, aplicamos a condição $ y(0) = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ \phi $:
y(0) = 0
Isso nos dá a primeira equação:
x = 0 çã

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição para a derivada: $ y’(0) = 5 $. Primeiro, encontramos a derivada de $ \phi $:
y'(0) = 5
Aplicando $ x = 0 $:
phi
Isso nos dá a segunda equação:
phi' = ddx(c1 e^x + c2 e^-x) = c1 e^x - c2 e^-x çã

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
c1 + c2 = 0 c1 - c2 = 5
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações:
(c1 + c2) + (c1 - c2) = 0 + 5 2c1 = 5 c1 = 52
Agora, substituímos $ c_{1} $ na Equação 1 para encontrar $ c_{2} $:
c1

Resposta

Portanto, os valores que satisfazem as condições iniciais são:
c1 = 52 e c2 = -52
A solução que atende às condições iniciais é:
phi = 52 e^x - 52 e^-x

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