Questão 1. Em cada um dos itens abaixo, verifique se as funções
e
são soluções para a EDO em questão, além disso, considere a solução dada por
Determine
e
de modo que
satisfaça as condições iniciais.
e
. Com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
As funções fornecidas são $ y_{1} = e^{x} $ e $ y_{2} = e^{-x} $. A gente precisa verificar se essas funções são soluções dessa EDO. Depois, vamos usar a combinação dessas soluções na forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ c_{1} $ e $ c_{2} $ que fazem com que $ \phi $ satisfaça as condições iniciais dadas:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre soluções de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e o conceito de combinação linear de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se $ y_{1} = e^{x} $ é uma solução da EDO $ y’’ - y = 0 $. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de $ y_{1} $:
Agora, substituímos na EDO:
Como o resultado é zero, $ y_{1} = e^{x} $ é realmente uma solução da EDO.
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para $ y_{2} = e^{-x} $. Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Então, $ y_{2} = e^{-x} $ também é uma solução da EDO.
Passo 4
Agora que confirmamos que $ y_{1} $ e $ y_{2} $ são soluções, vamos usar a combinação linear delas para construir a solução geral:
Queremos encontrar os valores de $ c_{1} $ e $ c_{2} $ que fazem com que $ \phi $ atenda às condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 5 $.
Passo 5
Primeiro, aplicamos a condição $ y(0) = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ \phi $:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição para a derivada: $ y’(0) = 5 $. Primeiro, encontramos a derivada de $ \phi $:
Aplicando $ x = 0 $:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações:
Agora, substituímos $ c_{1} $ na Equação 1 para encontrar $ c_{2} $:
Resposta
Portanto, os valores que satisfazem as condições iniciais são:
A solução que atende às condições iniciais é: