Questão 2. Verifique se os pares de funções abaixo são L.D. ou L.I.
f(x)=e^x cos x e g(x)=e^x sen x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções f(x)=e^xcos x e g(x)=e^xsin xsin x são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.). O conteúdo é dependência linear de funções reais e vamos usar o Wronskiano, que envolve derivadas e determinante de ordem 2.

Passo 2

Para calcular o Wronskiano precisamos das derivadas. Usando a regra do produto e a derivada de e^x:
f'(x)=ddxl(e^xcos xr)=e^xcos x - e^xsin x=e^xl(cos x - sin xr),
g'(x)=ddxl(e^xsin xr)=e^xsin x + e^xcos x=e^xl(sin x + cos xr)

Passo 3

Definimos o Wronskiano de f e g como
W(f,g)(x)= f(x) & g(x) f'(x) & g'(x)
Substituindo as funções e derivadas:
W(x)= e^xcos x & e^xsin x e^x(cos x-sin x) & e^x(sin x+cos x)

Passo 4

Calculando o determinante:
W(x)=e^xcos x cdot e^x(sin x+cos x)-e^xsin xcdot e^x(cos x-sin x)
que fica
W(x)=e^2xl(cos xsin x+cos^2 x-cos xsin x+sin^2 xr)=e^2x(cos^2 x+sin^2 x)=e^2x

Passo 5

Como e^2x é sempre diferente de zero em todo R, o Wronskiano não se anula. Logo, as funções são linearmente independentes (L.I.).

Resposta

As funções são linearmente independentes (L.I.).

Exercícios relacionados