Questão 2. Verifique se os pares de funções abaixo são L.D. ou L.I.
f(x)=x e^x e g(x)=10 e^x.

Passo 1

Estamos com a questão de verificar se as funções f(x)=x e^{x} e g(x)=10 e^{x} são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) no espaço de funções. Vamos usar o critério do wronskiano.

Passo 2

Para testar independência linear de duas funções, lembramos que se o wronskiano W(f,g)(x) não for identicamente zero em um intervalo, então as funções são L.I. O wronskiano é dado por
W(f,g)(x)=f(x),g'(x)-f'(x),g(x)

Passo 3

Precisamos calcular as derivadas f’(x) e g’(x). Calculando:
f(x)=x e^x,
f’(x)=e^x(x+1),
g(x)=10 e^x,
g’(x)=10 e^x.
$$

Passo 4

Substituindo no wronskiano, temos:
W(f,g)(x)=x e^xcdot10 e^x - e^x(x+1)cdot10 e^x = -10 e^2x

Passo 5

Como e^2x nunca é zero, concluímos que W(f,g)(x) é sempre diferente de zero. Portanto as funções são linearmente independentes.

Resposta

As funções f(x)=x e^{x} e g(x)=10 e^{x} são linearmente independentes (L.I.).

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