Questão 2. Verifique se os pares de funções abaixo são L.D. ou L.I.
e
.
Passo 1
Estamos com a questão de verificar se as funções f(x)=x e^{x} e g(x)=10 e^{x} são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) no espaço de funções. Vamos usar o critério do wronskiano.
Passo 2
Para testar independência linear de duas funções, lembramos que se o wronskiano W(f,g)(x) não for identicamente zero em um intervalo, então as funções são L.I. O wronskiano é dado por
Passo 3
Precisamos calcular as derivadas f’(x) e g’(x). Calculando:
f’(x)=e^x(x+1),
g’(x)=10 e^x.
$$
Passo 4
Substituindo no wronskiano, temos:
Passo 5
Como
nunca é zero, concluímos que
é sempre diferente de zero. Portanto as funções são linearmente independentes.
Resposta
As funções f(x)=x e^{x} e g(x)=10 e^{x} são linearmente independentes (L.I.).