Questão 1. Em cada um dos itens abaixo, verifique se as funções y1 e y2 são soluções para a EDO em questão, além disso, considere a solução dada por
phi=c1 y1+c2 y2
Determine c1 e c2 de modo que phi satisfaça as condições iniciais.
y^prime prime+y^prime=0 ; y1=1 e y2=e^-x Com y(0)=-2 e y^prime(0)=8.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: a EDO é
y'' + y' = 0,
as soluções fundamentais dadas são y1(x)=1 e y2(x)=e^-x. A solução geral assume a forma phi=c1y1+c2y2, e vamos determinar c1 e c2 para satisfazer as condições iniciais phi(0)=-2 e phi'(0)=8.

Passo 2

Verificação de y1(x)=1: calculando y1'=0 e y1''=0, temos
y1'' + y1' = 0 + 0 = 0,
logo y1 é solução da EDO.

Passo 3

Verificação de y2(x)=e^-x: calculando y2'=-e^-x e y2''=e^-x, temos
y2'' + y2' = e^-x - e^-x = 0,
logo y2 é solução da EDO.

Passo 4

Construção da solução geral:
phi(x) = c1 + c2 e^-x

Passo 5

Cálculo da derivada de phi:
phi'(x) = -c2 e^-x

Passo 6

Aplicação das condições iniciais:
De phi(0)=-2 vem
c1 + c2 = -2,
de phi'(0)=8 vem
-c2 = 8
Desse sistema obtém-se c2=-8 e, substituindo em c1 + c2 = -2, temos c1=6.

Resposta

c_1 = 6, c_2 = -8

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