Questão 1. Em cada um dos itens abaixo, verifique se as funções
e
são soluções para a EDO em questão, além disso, considere a solução dada por
Determine
e
de modo que
satisfaça as condições iniciais.
e
e
.
Passo 1
O exercício pede para confirmar que as funções y₁=cos(2x) e y₂=sen(2x) satisfazem a EDO y’’+4y=0 e depois usar a solução geral φ=c₁y₁+c₂y₂ para ajustar as condições iniciais y(0)=3 e y’(0)=8. O conteúdo principal é EDO linear homogênea de 2ª ordem e o princípio da superposição. Vamos precisar calcular derivadas e aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Calcular e substituir para verificar y₁ e y₂: Derivando y₁: y₁’(x)=-2sen(2x) e y₁’’(x)=-4cos(2x). Substituindo na EDO: y₁’’+4y₁ = -4cos(2x)+4cos(2x)=0. De modo análogo para y₂: y₂’(x)=2cos(2x), y₂’’(x)=-4sen(2x) e y₂’’+4y₂ = -4sen(2x)+4sen(2x)=0. Logo ambas são soluções.
Passo 3
Escrever a solução geral e usar y(0)=3: A solução geral é
Aplicando φ(0)=3: como cos(0)=1 e sin(0)=0, temos φ(0)=c₁=3, logo c₁=3.
Passo 4
Calcular φ’(x) e usar y’(0)=8: Derivando φ(x):
Em x=0 isso dá φ’(0)=2c₂ (pois sin(0)=0 e cos(0)=1). Igualando a 8 vem 2c₂=8, de onde c₂=4.