Questão 4 Um refletor solar possui a forma de um paraboloide de revolução, descrito pela equação:
z=\frac{x^{2}+y^{2}}{12}
Se o engenheiro deseja concentrar a luz no ponto z=2, qual deve ser a constante no denominador da equação?

Passo 1

O enunciado nos dá um refletor com a forma de um paraboloide de revolução descrito por
z = \frac{x^{2} + y^{2}}{12}
e pede para ajustar a forma de modo que todo feixe de luz seja concentrado no ponto de altura z=2. O conteúdo que vamos usar é a geometria analítica de superfícies parabólicas: saiba que um paraboloide de revolução dado por
z = \frac{x^{2} + y^{2}}{4f}
tem foco no ponto (0,0,f).

Passo 2

Comparemos a forma geral
z = \frac{x^{2} + y^{2}}{4f}
com a equação atual
z = \frac{x^{2} + y^{2}}{12}.
Isso implica que
4f = 12 \quad\Longrightarrow\quad f = 3.
Ou seja, na configuração atual o foco está em (0,0,3).

Passo 3

O engenheiro deseja que o foco fique em (0,0,2). Para isso precisamos ter f=2. Logo, na forma
z = \frac{x^{2} + y^{2}}{4f}
devemos usar
4f = 4 \times 2 = 8.

Resposta

A constante no denominador deve ser 8, isto é, a equação do refletor deve ser
z = \frac{x^{2} + y^{2}}{8}.

Exercícios relacionados