Questão 1 Para cada n \in \mathbb{N}, considere uma partição pontilhada do intervalo 1,2 :
1=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{i-1}<x_{i}<\cdots<x_{n}=2, x_{i}^{*} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], com \Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{n}. Para as somas de Riemann abaixo (nem todas são), expresse o limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{R}(n) em termos de uma integral:
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n}\left(\ln x_{i-1}\right)^{2} \Delta x

Passo 1

O enunciado nos dá, para cada n, uma partição de [1,2] com \Delta x=\tfrac1n e pontos de amostragem x_i^*=x_{i-1}. A soma de Riemann é
S_R(n)=\sum_{i=1}^n\bigl(\ln x_{i-1}\bigr)^2\,\Delta x.
Pede-se expressar \lim_{n\to\infty}S_R(n) como uma integral. O conteúdo envolvido é soma de Riemann e integração definida.

Passo 2

Lembrando que, se f é contínua em [a,b], então
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x =\int_a^b f(x)\,dx,
com \Delta x=(b-a)/n e x_i^*\in[x_{i-1},x_i].

Passo 3

No nosso caso temos
a=1,\quad b=2,\quad \Delta x=\tfrac1n,\quad x_i^*=x_{i-1},
e a função
f(x)=(\ln x)^2.

Passo 4

Aplicando o resultado da soma de Riemann, concluímos que
\lim_{n\to\infty}S_R(n) =\int_1^2(\ln x)^2\,dx.

Resposta

\int_1^2(\ln x)^2\,dx

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