Questão 1 Para cada n \in \mathbb{N}, considere uma partição pontilhada do intervalo 1,2 :
1=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{i-1}<x_{i}<\cdots<x_{n}=2, x_{i}^{*} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], com \Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{n}. Para as somas de Riemann abaixo (nem todas são), expresse o limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{R}(n) em termos de uma integral:
S_{R}(n)=\sum_{i=1}^{n} \operatorname{cosh} \left(x_{i}^{*}\right) e^{x_{i}^{*}} \Delta x

Passo 1

O enunciado nos dá uma partição de [1,2] com n subintervalos iguais de largura
\Delta x = x_{i}-x_{i-1} = \tfrac{1}{n},
e define a soma de Riemann
S_{R}(n) = \sum_{i=1}^{n} \operatorname{cosh}\bigl(x_{i}^{*}\bigr)\,e^{x_{i}^{*}}\,\Delta x,\quad x_{i}^{*}\in[x_{i-1},x_{i}].
Queremos expressar
\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{R}(n)
em termos de uma integral.

Passo 2

Para reconhecer a integral, identificamos a função a ser integrada em cada soma como
f(x) = \operatorname{cosh}(x)\,e^{x}.
Na definição de soma de Riemann, quando n\to\infty temos \Delta x\to0 e x_{i}^{*} percorre todo o intervalo [1,2].

Passo 3

Pelo teorema que relaciona soma de Riemann e integral definida, fica
\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \operatorname{cosh}\bigl(x_{i}^{*}\bigr)\,e^{x_{i}^{*}}\,\Delta x = \int_{1}^{2} \operatorname{cosh}(x)\,e^{x}\,dx.

Resposta

\lim_{n\to\infty}S_{R}(n) \;=\;\int_{1}^{2}\operatorname{cosh}(x)\,e^{x}\,dx.

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